Theorem letr 8321

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 8306	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
2	1	3coml 1237	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3		orcom 736	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
4	2, 3	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
5	4	con3d 636	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
6		lenlt 8314	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7	6	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8		lenlt 8314	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
9	8	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
11		ioran 760	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
12	10, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
13		lenlt 8314	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
14	13	3adant2 1043	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
15	5, 12, 14	3imtr4d 203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  letri  8346  letrd  8362  le2add  8683  le2sub  8700  p1le  9088  lemul12b  9100  lemul12a  9101  zletr  9590  peano2uz2  9648  ledivge1le  10022  fznlem  10338  elfz1b  10387  elfz0fzfz0  10423  fz0fzelfz0  10424  fz0fzdiffz0  10427  elfzmlbp  10429  difelfznle  10432  elincfzoext  10501  ssfzo12bi  10533  flqge  10605  fldiv4p1lem1div2  10628  monoord  10810  leexp2r  10918  expubnd  10921  le2sq2  10940  facwordi  11065  faclbnd3  11068  facavg  11071  swrdswrdlem  11351  swrdccat  11382  fimaxre2  11867  fsumabs  12106  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratnnlemmn  12166  algcvga  12703  prmdvdsfz  12791  prmfac1  12804  4sqlem11  13054  sincosq1lem  15636  gausslemma2dlem1a  15877  lgsquadlem1  15896  eupth2lemsfi  16419