ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr Unicode version

Theorem letr 7622
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 7608 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( C  <  B  \/  B  <  A ) ) )
213coml 1151 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( C  <  B  \/  B  <  A ) ) )
3 orcom 683 . . . 4  |-  ( ( C  <  B  \/  B  <  A )  <->  ( B  <  A  \/  C  < 
B ) )
42, 3syl6ib 160 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( B  <  A  \/  C  <  B ) ) )
54con3d 597 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  ( B  <  A  \/  C  <  B )  ->  -.  C  <  A ) )
6 lenlt 7615 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
763adant3 964 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 lenlt 7615 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
983adant1 962 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
107, 9anbi12d 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  C  <  B ) ) )
11 ioran 705 . . 3  |-  ( -.  ( B  <  A  \/  C  <  B )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  C  <  B ) )
1210, 11syl6bbr 197 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  <->  -.  ( B  <  A  \/  C  <  B ) ) )
13 lenlt 7615 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -.  C  <  A ) )
14133adant2 963 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -.  C  <  A ) )
155, 12, 143imtr4d 202 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665    /\ w3a 925    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7403    < clt 7576    <_ cle 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-pre-ltwlin 7512
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-cnv 4459  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582
This theorem is referenced by:  letri  7646  letrd  7661  le2add  7976  le2sub  7993  p1le  8364  lemul12b  8376  lemul12a  8377  zletr  8853  peano2uz2  8907  ledivge1le  9257  fznlem  9509  elfz1b  9558  elfz0fzfz0  9591  fz0fzelfz0  9592  fz0fzdiffz0  9595  elfzmlbp  9597  difelfznle  9600  ssfzo12bi  9690  flqge  9743  fldiv4p1lem1div2  9766  monoord  9958  leexp2r  10063  expubnd  10066  le2sq2  10084  facwordi  10202  faclbnd3  10205  facavg  10208  fimaxre2  10712  fsumabs  10913  cvgratnnlemnexp  10972  cvgratnnlemmn  10973  algcvga  11365  prmdvdsfz  11452  prmfac1  11463
  Copyright terms: Public domain W3C validator