Theorem letr 8157

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 8142	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
2	1	3coml 1213	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3		orcom 730	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
4	2, 3	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
5	4	con3d 632	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
6		lenlt 8150	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7	6	3adant3 1020	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8		lenlt 8150	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
9	8	3adant1 1018	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
11		ioran 754	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
12	10, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
13		lenlt 8150	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
14	13	3adant2 1019	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
15	5, 12, 14	3imtr4d 203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltwlin 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  letri  8182  letrd  8198  le2add  8519  le2sub  8536  p1le  8924  lemul12b  8936  lemul12a  8937  zletr  9424  peano2uz2  9482  ledivge1le  9850  fznlem  10165  elfz1b  10214  elfz0fzfz0  10250  fz0fzelfz0  10251  fz0fzdiffz0  10254  elfzmlbp  10256  difelfznle  10259  elincfzoext  10324  ssfzo12bi  10356  flqge  10427  fldiv4p1lem1div2  10450  monoord  10632  leexp2r  10740  expubnd  10743  le2sq2  10762  facwordi  10887  faclbnd3  10890  facavg  10893  fimaxre2  11571  fsumabs  11809  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratnnlemmn  11869  algcvga  12406  prmdvdsfz  12494  prmfac1  12507  4sqlem11  12757  sincosq1lem  15330  gausslemma2dlem1a  15568  lgsquadlem1  15587