Theorem letr 8112

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 8097	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
2	1	3coml 1212	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3		orcom 729	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
4	2, 3	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
5	4	con3d 632	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
6		lenlt 8105	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7	6	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8		lenlt 8105	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
9	8	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
10	7, 9	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
11		ioran 753	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
12	10, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
13		lenlt 8105	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
14	13	3adant2 1018	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
15	5, 12, 14	3imtr4d 203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7881   < clt 8064   <_ cle 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-pre-ltwlin 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070

This theorem is referenced by:  letri  8137  letrd  8153  le2add  8474  le2sub  8491  p1le  8879  lemul12b  8891  lemul12a  8892  zletr  9378  peano2uz2  9436  ledivge1le  9804  fznlem  10119  elfz1b  10168  elfz0fzfz0  10204  fz0fzelfz0  10205  fz0fzdiffz0  10208  elfzmlbp  10210  difelfznle  10213  ssfzo12bi  10304  flqge  10375  fldiv4p1lem1div2  10398  monoord  10580  leexp2r  10688  expubnd  10691  le2sq2  10710  facwordi  10835  faclbnd3  10838  facavg  10841  fimaxre2  11395  fsumabs  11633  cvgratnnlemnexp  11692  cvgratnnlemmn  11693  algcvga  12230  prmdvdsfz  12318  prmfac1  12331  4sqlem11  12581  sincosq1lem  15087  gausslemma2dlem1a  15325  lgsquadlem1  15344