Theorem letr 8398

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 8383	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
2	1	3coml 1241	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3		orcom 740	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
4	2, 3	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
5	4	con3d 640	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
6		lenlt 8391	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7	6	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8		lenlt 8391	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
9	8	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
10	7, 9	anbi12d 477	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
11		ioran 764	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
12	10, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
13		lenlt 8391	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
14	13	3adant2 1047	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
15	5, 12, 14	3imtr4d 203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  letri  8423  letrd  8440  le2add  8762  le2sub  8779  p1le  9169  lemul12b  9181  lemul12a  9182  zletr  9673  peano2uz2  9732  ledivge1le  10106  fznlem  10424  elfz1b  10475  elfz0fzfz0  10511  fz0fzelfz0  10512  fz0fzdiffz0  10515  elfzmlbp  10517  difelfznle  10520  elincfzoext  10589  ssfzo12bi  10621  flqge  10695  fldiv4p1lem1div2  10718  monoord  10900  leexp2r  11008  expubnd  11011  le2sq2  11030  facwordi  11156  faclbnd3  11159  facavg  11162  swrdswrdlem  11454  swrdccat  11485  fimaxre2  11971  fsumabs  12210  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratnnlemmn  12270  algcvga  12807  prmdvdsfz  12895  prmfac1  12908  4sqlem11  13158  sincosq1lem  15849  gausslemma2dlem1a  16091  lgsquadlem1  16110  eupth2lemsfi  16633