Theorem leid 8268

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		lenlt 8260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
3	2	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ℝcr 8036   < clt 8219   ≤ cle 8220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-pre-ltirr 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-xp 4733  df-cnv 4735  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225

This theorem is referenced by:  eqle  8276  leidi  8670  leidd  8699  lemulge11  9051  lediv2a  9080