Theorem leid 8198

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		lenlt 8190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
3	2	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ℝcr 7966   < clt 8149   ≤ cle 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-pre-ltirr 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-xp 4702  df-cnv 4704  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155

This theorem is referenced by:  eqle  8206  leidi  8600  leidd  8629  lemulge11  8981  lediv2a  9010