ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv2a Unicode version

Theorem lediv2a 8766
Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
lediv2a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( C  /  B
)  <_  ( C  /  A ) )

Proof of Theorem lediv2a
StepHypRef Expression
1 pm3.2 138 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  ( C  e.  RR  ->  ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR )
) )
21pm2.43i 49 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )
32adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )
4 leid 7961 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  C  <_  C )
54anim2i 340 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  C  /\  C  e.  RR )  ->  ( 0  <_  C  /\  C  <_  C ) )
65ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( 0  <_  C  /\  C  <_  C ) )
73, 6jca 304 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <_  C ) ) )
87ad2antlr 481 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <_  C ) ) )
983adantl2 1139 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <_  C ) ) )
10 id 19 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110ad2ant2r 501 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1211adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 simplr 520 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  A )
1413anim1i 338 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( 0  <  A  /\  A  <_  B ) )
1512, 14jca 304 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <  A  /\  A  <_  B ) ) )
16153adantl3 1140 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <  A  /\  A  <_  B ) ) )
17 lediv12a 8765 . 2  |-  ( ( ( ( C  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <_  C ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <  A  /\  A  <_  B ) ) )  ->  ( C  /  B )  <_  ( C  /  A ) )
189, 16, 17syl2anc 409 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( C  /  B
)  <_  ( C  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732    < clt 7912    <_ cle 7913    / cdiv 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546
This theorem is referenced by:  lediv2ad  9626
  Copyright terms: Public domain W3C validator