Theorem lmodsn0 14334

Description: The set of scalars in a left module is nonempty. It is also inhabited, by lmod0cl 14347. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsn0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsn0.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodsn0	|- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Proof of Theorem lmodsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsn0.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 14329	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodsn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` F )
4	3	grpbn0 13631	. 2 |- ( F e. Grp -> B =/= (/) )
5	2, 4	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   ` cfv 5326   Basecbs 13100  Scalarcsca 13181   Grpcgrp 13601   LModclmod 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-ring 14030  df-lmod 14322

This theorem is referenced by: (None)