ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsn0 Unicode version

Theorem lmodsn0 13453
Description: The set of scalars in a left module is nonempty. It is also inhabited, by lmod0cl 13466. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsn0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsn0.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodsn0  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem lmodsn0
StepHypRef Expression
1 lmodsn0.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodfgrp 13448 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
3 lmodsn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
43grpbn0 12924 . 2  |-  ( F  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
52, 4syl 14 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357   (/)c0 3434   ` cfv 5228   Basecbs 12475  Scalarcsca 12553   Grpcgrp 12896   LModclmod 13439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-ring 13235  df-lmod 13441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator