Theorem lmodsn0 14380

Description: The set of scalars in a left module is nonempty. It is also inhabited, by lmod0cl 14393. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsn0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsn0.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodsn0	|- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Proof of Theorem lmodsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsn0.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 14375	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodsn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` F )
4	3	grpbn0 13676	. 2 |- ( F e. Grp -> B =/= (/) )
5	2, 4	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   (/)c0 3496   ` cfv 5333   Basecbs 13145  Scalarcsca 13226   Grpcgrp 13646   LModclmod 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-ring 14075  df-lmod 14368

This theorem is referenced by: (None)