Theorem lmodsn0 13578

Description: The set of scalars in a left module is nonempty. It is also inhabited, by lmod0cl 13591. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsn0.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsn0.b	|- B = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodsn0	|- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Proof of Theorem lmodsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsn0.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 13573	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodsn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` F )
4	3	grpbn0 12940	. 2 |- ( F e. Grp -> B =/= (/) )
5	2, 4	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   ` cfv 5231   Basecbs 12480  Scalarcsca 12558   Grpcgrp 12911   LModclmod 13564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-ring 13313  df-lmod 13566

This theorem is referenced by: (None)