Theorem lmod0cl 13655

Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmod0cl.k	|- K = ( Base ` F )
lmod0cl.z	|- .0. = ( 0g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	|- ( W e. LMod -> .0. e. K )

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodring 13636	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
3		lmod0cl.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4		lmod0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` F )
5	3, 4	ring0cl 13400	. 2 |- ( F e. Ring -> .0. e. K )
6	2, 5	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> .0. e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5238   Basecbs 12523  Scalarcsca 12603   0gc0g 12772   Ringcrg 13375   LModclmod 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-ring 13377  df-lmod 13630

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  13666  lmodfopne  13667  lss1d  13724