Theorem lmodsn0 14498

Description: The set of scalars in a left module is nonempty. It is also inhabited, by lmod0cl 14511. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodsn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 14493	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	grpbn0 13764	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
5	2, 4	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3510  ‘cfv 5354  Basecbs 13233  Scalarcsca 13314  Grpcgrp 13734  LModclmod 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-ring 14163  df-lmod 14486

This theorem is referenced by: (None)