Theorem grpinvcl 13589

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13588	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5772	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   Basecbs 13040   Grpcgrp 13541   invgcminusg 13542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13590  grprinv  13592  grpinvid1  13593  grpinvid2  13594  grplrinv  13598  grpressid  13602  grplcan  13603  grpasscan1  13604  grpasscan2  13605  grpinvinv  13608  grpinvcnv  13609  grpinvnzcl  13613  grpsubinv  13614  grplmulf1o  13615  grpinvssd  13618  grpinvadd  13619  grpsubf  13620  grpsubrcan  13622  grpinvsub  13623  grpinvval2  13624  grpsubeq0  13627  grpsubadd  13629  grpaddsubass  13631  grpnpcan  13633  dfgrp3m  13640  grplactcnv  13643  grpsubpropd2  13646  pwssub  13654  imasgrp  13656  ghmgrp  13663  mulgcl  13684  mulgaddcomlem  13690  mulginvcom  13692  mulginvinv  13693  mulgneg2  13701  subginv  13726  subginvcl  13728  issubg4m  13738  grpissubg  13739  subgintm  13743  0subg  13744  isnsg3  13752  nmzsubg  13755  eqger  13769  eqglact  13770  eqgcpbl  13773  qusgrp  13777  qusinv  13781  qussub  13782  ghminv  13795  ghmsub  13796  ghmrn  13802  ghmpreima  13811  ghmeql  13812  conjghm  13821  ablinvadd  13855  ablsub2inv  13856  ablsub4  13858  ablsubsub4  13864  invghm  13874  eqgabl  13875  ringnegl  14022  ringnegr  14023  ringmneg1  14024  ringmneg2  14025  ringm2neg  14026  ringsubdi  14027  ringsubdir  14028  dvdsrneg  14075  unitinvcl  14095  unitnegcl  14102  lmodvnegcl  14300  lmodvneg1  14302  lmodvsneg  14303  lmodsubvs  14315  lmodsubdi  14316  lmodsubdir  14317  lssvsubcl  14338  lssvnegcl  14348  lspsnneg  14392  psrlinv  14656