Theorem grpinvcl 12853

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 12852	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5650	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5215   Basecbs 12454   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813

This theorem is referenced by:  grprinv  12855  grpinvid1  12856  grpinvid2  12857  grplrinv  12859  grpressid  12863  grplcan  12864  grpasscan1  12865  grpasscan2  12866  grpinvinv  12869  grpinvcnv  12870  grpinvnzcl  12874  grpsubinv  12875  grplmulf1o  12876  grpinvssd  12879  grpinvadd  12880  grpsubf  12881  grpsubrcan  12883  grpinvsub  12884  grpinvval2  12885  grpsubeq0  12888  grpsubadd  12890  grpaddsubass  12892  grpnpcan  12894  dfgrp3m  12901  grplactcnv  12904  grpsubpropd2  12907  ghmgrp  12914  mulgcl  12932  mulgaddcomlem  12937  mulginvcom  12939  mulginvinv  12940  mulgneg2  12948  subginv  12972  subginvcl  12974  issubg4m  12984  grpissubg  12985  subgintm  12989  0subg  12990  isnsg3  12998  nmzsubg  13001  eqger  13014  eqglact  13015  eqgcpbl  13018  ablinvadd  13044  ablsub2inv  13045  ablsub4  13047  ablsubsub4  13053  ringnegl  13159  rngnegr  13160  ringmneg1  13161  ringmneg2  13162  ringm2neg  13163  ringsubdi  13164  rngsubdir  13165  dvdsrneg  13203  unitinvcl  13223  unitnegcl  13230