Theorem grpinvcl 12927

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 12926	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5654	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   Basecbs 12465   Grpcgrp 12883   invgcminusg 12884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887

This theorem is referenced by:  grprinv  12929  grpinvid1  12930  grpinvid2  12931  grplrinv  12933  grpressid  12937  grplcan  12938  grpasscan1  12939  grpasscan2  12940  grpinvinv  12943  grpinvcnv  12944  grpinvnzcl  12948  grpsubinv  12949  grplmulf1o  12950  grpinvssd  12953  grpinvadd  12954  grpsubf  12955  grpsubrcan  12957  grpinvsub  12958  grpinvval2  12959  grpsubeq0  12962  grpsubadd  12964  grpaddsubass  12966  grpnpcan  12968  dfgrp3m  12975  grplactcnv  12978  grpsubpropd2  12981  ghmgrp  12988  mulgcl  13006  mulgaddcomlem  13012  mulginvcom  13014  mulginvinv  13015  mulgneg2  13023  subginv  13047  subginvcl  13049  issubg4m  13059  grpissubg  13060  subgintm  13064  0subg  13065  isnsg3  13073  nmzsubg  13076  eqger  13089  eqglact  13090  eqgcpbl  13093  ablinvadd  13119  ablsub2inv  13120  ablsub4  13122  ablsubsub4  13128  ringnegl  13234  ringnegr  13235  ringmneg1  13236  ringmneg2  13237  ringm2neg  13238  ringsubdi  13239  ringsubdir  13240  dvdsrneg  13278  unitinvcl  13298  unitnegcl  13305  lmodvnegcl  13424  lmodvneg1  13426  lmodvsneg  13427  lmodsubvs  13439  lmodsubdi  13440  lmodsubdir  13441  lssvsubcl  13459  lssvnegcl  13469  lspsnneg  13512