Theorem grpinvcl 13845

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13844	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5817	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   Basecbs 13296   Grpcgrp 13797   invgcminusg 13798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13846  grprinv  13848  grpinvid1  13849  grpinvid2  13850  grplrinv  13854  grpressid  13858  grplcan  13859  grpasscan1  13860  grpasscan2  13861  grpinvinv  13864  grpinvcnv  13865  grpinvnzcl  13869  grpsubinv  13870  grplmulf1o  13871  grpinvssd  13874  grpinvadd  13875  grpsubf  13876  grpsubrcan  13878  grpinvsub  13879  grpinvval2  13880  grpsubeq0  13883  grpsubadd  13885  grpaddsubass  13887  grpnpcan  13889  dfgrp3m  13896  grplactcnv  13899  grpsubpropd2  13902  pwssub  13910  imasgrp  13912  ghmgrp  13919  mulgcl  13940  mulgaddcomlem  13946  mulginvcom  13948  mulginvinv  13949  mulgneg2  13957  subginv  13982  subginvcl  13984  issubg4m  13994  grpissubg  13995  subgintm  13999  0subg  14000  isnsg3  14008  nmzsubg  14011  eqger  14025  eqglact  14026  eqgcpbl  14029  qusgrp  14033  qusinv  14037  qussub  14038  ghminv  14051  ghmsub  14052  ghmrn  14058  ghmpreima  14067  ghmeql  14068  conjghm  14077  ablinvadd  14111  ablsub2inv  14112  ablsub4  14114  ablsubsub4  14120  invghm  14130  eqgabl  14131  ringnegl  14279  ringnegr  14280  ringmneg1  14281  ringmneg2  14282  ringm2neg  14283  ringsubdi  14284  ringsubdir  14285  dvdsrneg  14333  unitinvcl  14353  unitnegcl  14360  lmodvnegcl  14588  lmodvneg1  14590  lmodvsneg  14591  lmodsubvs  14603  lmodsubdi  14604  lmodsubdir  14605  lssvsubcl  14626  lssvnegcl  14636  lspsnneg  14680  psrlinv  14951