Theorem grpinvcl 13602

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13601	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5775	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5321   Basecbs 13053   Grpcgrp 13554   invgcminusg 13555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13603  grprinv  13605  grpinvid1  13606  grpinvid2  13607  grplrinv  13611  grpressid  13615  grplcan  13616  grpasscan1  13617  grpasscan2  13618  grpinvinv  13621  grpinvcnv  13622  grpinvnzcl  13626  grpsubinv  13627  grplmulf1o  13628  grpinvssd  13631  grpinvadd  13632  grpsubf  13633  grpsubrcan  13635  grpinvsub  13636  grpinvval2  13637  grpsubeq0  13640  grpsubadd  13642  grpaddsubass  13644  grpnpcan  13646  dfgrp3m  13653  grplactcnv  13656  grpsubpropd2  13659  pwssub  13667  imasgrp  13669  ghmgrp  13676  mulgcl  13697  mulgaddcomlem  13703  mulginvcom  13705  mulginvinv  13706  mulgneg2  13714  subginv  13739  subginvcl  13741  issubg4m  13751  grpissubg  13752  subgintm  13756  0subg  13757  isnsg3  13765  nmzsubg  13768  eqger  13782  eqglact  13783  eqgcpbl  13786  qusgrp  13790  qusinv  13794  qussub  13795  ghminv  13808  ghmsub  13809  ghmrn  13815  ghmpreima  13824  ghmeql  13825  conjghm  13834  ablinvadd  13868  ablsub2inv  13869  ablsub4  13871  ablsubsub4  13877  invghm  13887  eqgabl  13888  ringnegl  14035  ringnegr  14036  ringmneg1  14037  ringmneg2  14038  ringm2neg  14039  ringsubdi  14040  ringsubdir  14041  dvdsrneg  14088  unitinvcl  14108  unitnegcl  14115  lmodvnegcl  14313  lmodvneg1  14315  lmodvsneg  14316  lmodsubvs  14328  lmodsubdi  14329  lmodsubdir  14330  lssvsubcl  14351  lssvnegcl  14361  lspsnneg  14405  psrlinv  14669