Theorem grpinvcl 13636

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13635	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5782	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13087   Grpcgrp 13588   invgcminusg 13589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13637  grprinv  13639  grpinvid1  13640  grpinvid2  13641  grplrinv  13645  grpressid  13649  grplcan  13650  grpasscan1  13651  grpasscan2  13652  grpinvinv  13655  grpinvcnv  13656  grpinvnzcl  13660  grpsubinv  13661  grplmulf1o  13662  grpinvssd  13665  grpinvadd  13666  grpsubf  13667  grpsubrcan  13669  grpinvsub  13670  grpinvval2  13671  grpsubeq0  13674  grpsubadd  13676  grpaddsubass  13678  grpnpcan  13680  dfgrp3m  13687  grplactcnv  13690  grpsubpropd2  13693  pwssub  13701  imasgrp  13703  ghmgrp  13710  mulgcl  13731  mulgaddcomlem  13737  mulginvcom  13739  mulginvinv  13740  mulgneg2  13748  subginv  13773  subginvcl  13775  issubg4m  13785  grpissubg  13786  subgintm  13790  0subg  13791  isnsg3  13799  nmzsubg  13802  eqger  13816  eqglact  13817  eqgcpbl  13820  qusgrp  13824  qusinv  13828  qussub  13829  ghminv  13842  ghmsub  13843  ghmrn  13849  ghmpreima  13858  ghmeql  13859  conjghm  13868  ablinvadd  13902  ablsub2inv  13903  ablsub4  13905  ablsubsub4  13911  invghm  13921  eqgabl  13922  ringnegl  14070  ringnegr  14071  ringmneg1  14072  ringmneg2  14073  ringm2neg  14074  ringsubdi  14075  ringsubdir  14076  dvdsrneg  14123  unitinvcl  14143  unitnegcl  14150  lmodvnegcl  14348  lmodvneg1  14350  lmodvsneg  14351  lmodsubvs  14363  lmodsubdi  14364  lmodsubdir  14365  lssvsubcl  14386  lssvnegcl  14396  lspsnneg  14440  psrlinv  14704