Theorem grpinvcl 13836

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13835	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5837	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375   Basecbs 13335   Grpcgrp 13788   invgcminusg 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13837  grprinv  13839  grpinvid1  13840  grpinvid2  13841  grplrinv  13845  grpressid  13849  grplcan  13850  grpasscan1  13851  grpasscan2  13852  grpinvinv  13855  grpinvcnv  13856  grpinvnzcl  13860  grpsubinv  13861  grplmulf1o  13862  grpinvssd  13865  grpinvadd  13866  grpsubf  13867  grpsubrcan  13869  grpinvsub  13870  grpinvval2  13871  grpsubeq0  13874  grpsubadd  13876  grpaddsubass  13878  grpnpcan  13880  dfgrp3m  13887  grplactcnv  13890  grpsubpropd2  13893  imasgrp  13897  ghmgrp  13904  mulgcl  13925  mulgaddcomlem  13931  mulginvcom  13933  mulginvinv  13934  mulgneg2  13942  subginv  13967  subginvcl  13969  issubg4m  13979  grpissubg  13980  subgintm  13984  0subg  13985  isnsg3  13993  nmzsubg  13996  eqger  14010  eqglact  14011  eqgcpbl  14014  qusgrp  14018  qusinv  14022  qussub  14023  ghminv  14036  ghmsub  14037  ghmrn  14043  ghmpreima  14052  ghmeql  14053  conjghm  14062  ablinvadd  14097  ablsub2inv  14098  ablsub4  14100  ablsubsub4  14106  invghm  14116  eqgabl  14117  pwssub  14199  ringnegl  14339  ringnegr  14340  ringmneg1  14341  ringmneg2  14342  ringm2neg  14343  ringsubdi  14344  ringsubdir  14345  dvdsrneg  14393  unitinvcl  14413  unitnegcl  14420  lmodvnegcl  14648  lmodvneg1  14650  lmodvsneg  14651  lmodsubvs  14663  lmodsubdi  14664  lmodsubdir  14665  lssvsubcl  14686  lssvnegcl  14696  lspsnneg  14740  psrlinv  15058