Theorem grpinvcl 13904

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13903	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5843	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13403   Grpcgrp 13856   invgcminusg 13857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-plusg 13495  df-0g 13663  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-grp 13859  df-minusg 13860

This theorem is used by:  grpinvcld  13905  grprinv  13907  grpinvid1  13908  grpinvid2  13909  grplrinv  13913  grpressid  13917  grplcan  13918  grpasscan1  13919  grpasscan2  13920  grpinvinv  13923  grpinvcnv  13924  grpinvnzcl  13928  grpsubinv  13929  grplmulf1o  13930  grpinvssd  13933  grpinvadd  13934  grpsubf  13935  grpsubrcan  13937  grpinvsub  13938  grpinvval2  13939  grpsubeq0  13942  grpsubadd  13944  grpaddsubass  13946  grpnpcan  13948  dfgrp3m  13955  grplactcnv  13958  grpsubpropd2  13961  imasgrp  13965  ghmgrp  13972  mulgcl  13993  mulgaddcomlem  13999  mulginvcom  14001  mulginvinv  14002  mulgneg2  14010  subginv  14035  subginvcl  14037  issubg4m  14047  grpissubg  14048  subgintm  14052  0subg  14053  isnsg3  14061  nmzsubg  14064  eqger  14078  eqglact  14079  eqgcpbl  14082  qusgrp  14086  qusinv  14090  qussub  14091  ghminv  14104  ghmsub  14105  ghmrn  14111  ghmpreima  14120  ghmeql  14121  conjghm  14130  ablinvadd  14165  ablsub2inv  14166  ablsub4  14168  ablsubsub4  14174  invghm  14184  eqgabl  14185  pwssub  14267  ringnegl  14407  ringnegr  14408  ringmneg1  14409  ringmneg2  14410  ringm2neg  14411  ringsubdi  14412  ringsubdir  14413  dvdsrneg  14461  unitinvcl  14481  unitnegcl  14488  lmodvnegcl  14716  lmodvneg1  14718  lmodvsneg  14719  lmodsubvs  14731  lmodsubdi  14732  lmodsubdir  14733  lssvsubcl  14754  lssvnegcl  14764  lspsnneg  14808  psrlinv  15127