Theorem grpinvcl 13424

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13423	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5722	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5276   Basecbs 12876   Grpcgrp 13376   invgcminusg 13377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13425  grprinv  13427  grpinvid1  13428  grpinvid2  13429  grplrinv  13433  grpressid  13437  grplcan  13438  grpasscan1  13439  grpasscan2  13440  grpinvinv  13443  grpinvcnv  13444  grpinvnzcl  13448  grpsubinv  13449  grplmulf1o  13450  grpinvssd  13453  grpinvadd  13454  grpsubf  13455  grpsubrcan  13457  grpinvsub  13458  grpinvval2  13459  grpsubeq0  13462  grpsubadd  13464  grpaddsubass  13466  grpnpcan  13468  dfgrp3m  13475  grplactcnv  13478  grpsubpropd2  13481  pwssub  13489  imasgrp  13491  ghmgrp  13498  mulgcl  13519  mulgaddcomlem  13525  mulginvcom  13527  mulginvinv  13528  mulgneg2  13536  subginv  13561  subginvcl  13563  issubg4m  13573  grpissubg  13574  subgintm  13578  0subg  13579  isnsg3  13587  nmzsubg  13590  eqger  13604  eqglact  13605  eqgcpbl  13608  qusgrp  13612  qusinv  13616  qussub  13617  ghminv  13630  ghmsub  13631  ghmrn  13637  ghmpreima  13646  ghmeql  13647  conjghm  13656  ablinvadd  13690  ablsub2inv  13691  ablsub4  13693  ablsubsub4  13699  invghm  13709  eqgabl  13710  ringnegl  13857  ringnegr  13858  ringmneg1  13859  ringmneg2  13860  ringm2neg  13861  ringsubdi  13862  ringsubdir  13863  dvdsrneg  13909  unitinvcl  13929  unitnegcl  13936  lmodvnegcl  14134  lmodvneg1  14136  lmodvsneg  14137  lmodsubvs  14149  lmodsubdi  14150  lmodsubdir  14151  lssvsubcl  14172  lssvnegcl  14182  lspsnneg  14226  psrlinv  14490