Theorem grpinvcl 13581

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13580	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5770	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   Basecbs 13032   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13582  grprinv  13584  grpinvid1  13585  grpinvid2  13586  grplrinv  13590  grpressid  13594  grplcan  13595  grpasscan1  13596  grpasscan2  13597  grpinvinv  13600  grpinvcnv  13601  grpinvnzcl  13605  grpsubinv  13606  grplmulf1o  13607  grpinvssd  13610  grpinvadd  13611  grpsubf  13612  grpsubrcan  13614  grpinvsub  13615  grpinvval2  13616  grpsubeq0  13619  grpsubadd  13621  grpaddsubass  13623  grpnpcan  13625  dfgrp3m  13632  grplactcnv  13635  grpsubpropd2  13638  pwssub  13646  imasgrp  13648  ghmgrp  13655  mulgcl  13676  mulgaddcomlem  13682  mulginvcom  13684  mulginvinv  13685  mulgneg2  13693  subginv  13718  subginvcl  13720  issubg4m  13730  grpissubg  13731  subgintm  13735  0subg  13736  isnsg3  13744  nmzsubg  13747  eqger  13761  eqglact  13762  eqgcpbl  13765  qusgrp  13769  qusinv  13773  qussub  13774  ghminv  13787  ghmsub  13788  ghmrn  13794  ghmpreima  13803  ghmeql  13804  conjghm  13813  ablinvadd  13847  ablsub2inv  13848  ablsub4  13850  ablsubsub4  13856  invghm  13866  eqgabl  13867  ringnegl  14014  ringnegr  14015  ringmneg1  14016  ringmneg2  14017  ringm2neg  14018  ringsubdi  14019  ringsubdir  14020  dvdsrneg  14067  unitinvcl  14087  unitnegcl  14094  lmodvnegcl  14292  lmodvneg1  14294  lmodvsneg  14295  lmodsubvs  14307  lmodsubdi  14308  lmodsubdir  14309  lssvsubcl  14330  lssvnegcl  14340  lspsnneg  14384  psrlinv  14648