Theorem grpinvcl 13567

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13566	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5763	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5314   Basecbs 13018   Grpcgrp 13519   invgcminusg 13520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13568  grprinv  13570  grpinvid1  13571  grpinvid2  13572  grplrinv  13576  grpressid  13580  grplcan  13581  grpasscan1  13582  grpasscan2  13583  grpinvinv  13586  grpinvcnv  13587  grpinvnzcl  13591  grpsubinv  13592  grplmulf1o  13593  grpinvssd  13596  grpinvadd  13597  grpsubf  13598  grpsubrcan  13600  grpinvsub  13601  grpinvval2  13602  grpsubeq0  13605  grpsubadd  13607  grpaddsubass  13609  grpnpcan  13611  dfgrp3m  13618  grplactcnv  13621  grpsubpropd2  13624  pwssub  13632  imasgrp  13634  ghmgrp  13641  mulgcl  13662  mulgaddcomlem  13668  mulginvcom  13670  mulginvinv  13671  mulgneg2  13679  subginv  13704  subginvcl  13706  issubg4m  13716  grpissubg  13717  subgintm  13721  0subg  13722  isnsg3  13730  nmzsubg  13733  eqger  13747  eqglact  13748  eqgcpbl  13751  qusgrp  13755  qusinv  13759  qussub  13760  ghminv  13773  ghmsub  13774  ghmrn  13780  ghmpreima  13789  ghmeql  13790  conjghm  13799  ablinvadd  13833  ablsub2inv  13834  ablsub4  13836  ablsubsub4  13842  invghm  13852  eqgabl  13853  ringnegl  14000  ringnegr  14001  ringmneg1  14002  ringmneg2  14003  ringm2neg  14004  ringsubdi  14005  ringsubdir  14006  dvdsrneg  14052  unitinvcl  14072  unitnegcl  14079  lmodvnegcl  14277  lmodvneg1  14279  lmodvsneg  14280  lmodsubvs  14292  lmodsubdi  14293  lmodsubdir  14294  lssvsubcl  14315  lssvnegcl  14325  lspsnneg  14369  psrlinv  14633