Theorem grpinvcl 13808

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13807	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5818	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5358   Basecbs 13301   Grpcgrp 13760   invgcminusg 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-inn 9259  df-2 9317  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13809  grprinv  13811  grpinvid1  13812  grpinvid2  13813  grplrinv  13817  grpressid  13821  grplcan  13822  grpasscan1  13823  grpasscan2  13824  grpinvinv  13827  grpinvcnv  13828  grpinvnzcl  13832  grpsubinv  13833  grplmulf1o  13834  grpinvssd  13837  grpinvadd  13838  grpsubf  13839  grpsubrcan  13841  grpinvsub  13842  grpinvval2  13843  grpsubeq0  13846  grpsubadd  13848  grpaddsubass  13850  grpnpcan  13852  dfgrp3m  13859  grplactcnv  13862  grpsubpropd2  13865  imasgrp  13869  ghmgrp  13876  mulgcl  13897  mulgaddcomlem  13903  mulginvcom  13905  mulginvinv  13906  mulgneg2  13914  subginv  13939  subginvcl  13941  issubg4m  13951  grpissubg  13952  subgintm  13956  0subg  13957  isnsg3  13965  nmzsubg  13968  eqger  13982  eqglact  13983  eqgcpbl  13986  qusgrp  13990  qusinv  13994  qussub  13995  ghminv  14008  ghmsub  14009  ghmrn  14015  ghmpreima  14024  ghmeql  14025  conjghm  14034  ablinvadd  14068  ablsub2inv  14069  ablsub4  14071  ablsubsub4  14077  invghm  14087  eqgabl  14088  pwssub  14163  ringnegl  14299  ringnegr  14300  ringmneg1  14301  ringmneg2  14302  ringm2neg  14303  ringsubdi  14304  ringsubdir  14305  dvdsrneg  14353  unitinvcl  14373  unitnegcl  14380  lmodvnegcl  14607  lmodvneg1  14609  lmodvsneg  14610  lmodsubvs  14622  lmodsubdi  14623  lmodsubdir  14624  lssvsubcl  14645  lssvnegcl  14655  lspsnneg  14699  psrlinv  14970