Theorem grpinvcl 13855

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13854	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5843	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13354   Grpcgrp 13807   invgcminusg 13808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811

This theorem is used by:  grpinvcld  13856  grprinv  13858  grpinvid1  13859  grpinvid2  13860  grplrinv  13864  grpressid  13868  grplcan  13869  grpasscan1  13870  grpasscan2  13871  grpinvinv  13874  grpinvcnv  13875  grpinvnzcl  13879  grpsubinv  13880  grplmulf1o  13881  grpinvssd  13884  grpinvadd  13885  grpsubf  13886  grpsubrcan  13888  grpinvsub  13889  grpinvval2  13890  grpsubeq0  13893  grpsubadd  13895  grpaddsubass  13897  grpnpcan  13899  dfgrp3m  13906  grplactcnv  13909  grpsubpropd2  13912  imasgrp  13916  ghmgrp  13923  mulgcl  13944  mulgaddcomlem  13950  mulginvcom  13952  mulginvinv  13953  mulgneg2  13961  subginv  13986  subginvcl  13988  issubg4m  13998  grpissubg  13999  subgintm  14003  0subg  14004  isnsg3  14012  nmzsubg  14015  eqger  14029  eqglact  14030  eqgcpbl  14033  qusgrp  14037  qusinv  14041  qussub  14042  ghminv  14055  ghmsub  14056  ghmrn  14062  ghmpreima  14071  ghmeql  14072  conjghm  14081  ablinvadd  14116  ablsub2inv  14117  ablsub4  14119  ablsubsub4  14125  invghm  14135  eqgabl  14136  pwssub  14218  ringnegl  14358  ringnegr  14359  ringmneg1  14360  ringmneg2  14361  ringm2neg  14362  ringsubdi  14363  ringsubdir  14364  dvdsrneg  14412  unitinvcl  14432  unitnegcl  14439  lmodvnegcl  14667  lmodvneg1  14669  lmodvsneg  14670  lmodsubvs  14682  lmodsubdi  14683  lmodsubdir  14684  lssvsubcl  14705  lssvnegcl  14715  lspsnneg  14759  psrlinv  15077