Theorem grpinvcl 13753

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13752	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5811	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5351   Basecbs 13204   Grpcgrp 13705   invgcminusg 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9237  df-2 9295  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13754  grprinv  13756  grpinvid1  13757  grpinvid2  13758  grplrinv  13762  grpressid  13766  grplcan  13767  grpasscan1  13768  grpasscan2  13769  grpinvinv  13772  grpinvcnv  13773  grpinvnzcl  13777  grpsubinv  13778  grplmulf1o  13779  grpinvssd  13782  grpinvadd  13783  grpsubf  13784  grpsubrcan  13786  grpinvsub  13787  grpinvval2  13788  grpsubeq0  13791  grpsubadd  13793  grpaddsubass  13795  grpnpcan  13797  dfgrp3m  13804  grplactcnv  13807  grpsubpropd2  13810  pwssub  13818  imasgrp  13820  ghmgrp  13827  mulgcl  13848  mulgaddcomlem  13854  mulginvcom  13856  mulginvinv  13857  mulgneg2  13865  subginv  13890  subginvcl  13892  issubg4m  13902  grpissubg  13903  subgintm  13907  0subg  13908  isnsg3  13916  nmzsubg  13919  eqger  13933  eqglact  13934  eqgcpbl  13937  qusgrp  13941  qusinv  13945  qussub  13946  ghminv  13959  ghmsub  13960  ghmrn  13966  ghmpreima  13975  ghmeql  13976  conjghm  13985  ablinvadd  14019  ablsub2inv  14020  ablsub4  14022  ablsubsub4  14028  invghm  14038  eqgabl  14039  ringnegl  14187  ringnegr  14188  ringmneg1  14189  ringmneg2  14190  ringm2neg  14191  ringsubdi  14192  ringsubdir  14193  dvdsrneg  14240  unitinvcl  14260  unitnegcl  14267  lmodvnegcl  14468  lmodvneg1  14470  lmodvsneg  14471  lmodsubvs  14483  lmodsubdi  14484  lmodsubdir  14485  lssvsubcl  14506  lssvnegcl  14516  lspsnneg  14560  psrlinv  14831