Theorem grpinvcl 13692

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13691	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5790	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333   Basecbs 13143   Grpcgrp 13644   invgcminusg 13645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9187  df-2 9245  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13693  grprinv  13695  grpinvid1  13696  grpinvid2  13697  grplrinv  13701  grpressid  13705  grplcan  13706  grpasscan1  13707  grpasscan2  13708  grpinvinv  13711  grpinvcnv  13712  grpinvnzcl  13716  grpsubinv  13717  grplmulf1o  13718  grpinvssd  13721  grpinvadd  13722  grpsubf  13723  grpsubrcan  13725  grpinvsub  13726  grpinvval2  13727  grpsubeq0  13730  grpsubadd  13732  grpaddsubass  13734  grpnpcan  13736  dfgrp3m  13743  grplactcnv  13746  grpsubpropd2  13749  pwssub  13757  imasgrp  13759  ghmgrp  13766  mulgcl  13787  mulgaddcomlem  13793  mulginvcom  13795  mulginvinv  13796  mulgneg2  13804  subginv  13829  subginvcl  13831  issubg4m  13841  grpissubg  13842  subgintm  13846  0subg  13847  isnsg3  13855  nmzsubg  13858  eqger  13872  eqglact  13873  eqgcpbl  13876  qusgrp  13880  qusinv  13884  qussub  13885  ghminv  13898  ghmsub  13899  ghmrn  13905  ghmpreima  13914  ghmeql  13915  conjghm  13924  ablinvadd  13958  ablsub2inv  13959  ablsub4  13961  ablsubsub4  13967  invghm  13977  eqgabl  13978  ringnegl  14126  ringnegr  14127  ringmneg1  14128  ringmneg2  14129  ringm2neg  14130  ringsubdi  14131  ringsubdir  14132  dvdsrneg  14179  unitinvcl  14199  unitnegcl  14206  lmodvnegcl  14404  lmodvneg1  14406  lmodvsneg  14407  lmodsubvs  14419  lmodsubdi  14420  lmodsubdir  14421  lssvsubcl  14442  lssvnegcl  14452  lspsnneg  14496  psrlinv  14765