Theorem grpinvcl 13180

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvf 13179	. 2 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
4	3	ffvelcdmda 5697	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258   Basecbs 12678   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13181  grprinv  13183  grpinvid1  13184  grpinvid2  13185  grplrinv  13189  grpressid  13193  grplcan  13194  grpasscan1  13195  grpasscan2  13196  grpinvinv  13199  grpinvcnv  13200  grpinvnzcl  13204  grpsubinv  13205  grplmulf1o  13206  grpinvssd  13209  grpinvadd  13210  grpsubf  13211  grpsubrcan  13213  grpinvsub  13214  grpinvval2  13215  grpsubeq0  13218  grpsubadd  13220  grpaddsubass  13222  grpnpcan  13224  dfgrp3m  13231  grplactcnv  13234  grpsubpropd2  13237  imasgrp  13241  ghmgrp  13248  mulgcl  13269  mulgaddcomlem  13275  mulginvcom  13277  mulginvinv  13278  mulgneg2  13286  subginv  13311  subginvcl  13313  issubg4m  13323  grpissubg  13324  subgintm  13328  0subg  13329  isnsg3  13337  nmzsubg  13340  eqger  13354  eqglact  13355  eqgcpbl  13358  qusgrp  13362  qusinv  13366  qussub  13367  ghminv  13380  ghmsub  13381  ghmrn  13387  ghmpreima  13396  ghmeql  13397  conjghm  13406  ablinvadd  13440  ablsub2inv  13441  ablsub4  13443  ablsubsub4  13449  invghm  13459  eqgabl  13460  ringnegl  13607  ringnegr  13608  ringmneg1  13609  ringmneg2  13610  ringm2neg  13611  ringsubdi  13612  ringsubdir  13613  dvdsrneg  13659  unitinvcl  13679  unitnegcl  13686  lmodvnegcl  13884  lmodvneg1  13886  lmodvsneg  13887  lmodsubvs  13899  lmodsubdi  13900  lmodsubdir  13901  lssvsubcl  13922  lssvnegcl  13932  lspsnneg  13976