Theorem lcomf 14204

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	|- F = (Scalar ` W )
lcomf.k	|- K = ( Base ` F )
lcomf.s	|- .x. = ( .s ` W )
lcomf.b	|- B = ( Base ` W )
lcomf.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lcomf.g	|- ( ph -> G : I --> K )
lcomf.h	|- ( ph -> H : I --> B )
lcomf.i	|- ( ph -> I e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcomf	|- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lcomf.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
3		lcomf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		lcomf.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		lcomf.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 14182	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
7	6	3expb 1207	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
8	1, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
9		lcomf.g	. 2 |- ( ph -> G : I --> K )
10		lcomf.h	. 2 |- ( ph -> H : I --> B )
11		lcomf.i	. 2 |- ( ph -> I e. V )
12		inidm 3390	. 2 |- ( I i^i I ) = I
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6194	1 |- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   oFcof 6179   Basecbs 12947  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   LModclmod 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-lmod 14166

This theorem is referenced by: (None)