Theorem lcomf 13959

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	|- F = (Scalar ` W )
lcomf.k	|- K = ( Base ` F )
lcomf.s	|- .x. = ( .s ` W )
lcomf.b	|- B = ( Base ` W )
lcomf.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lcomf.g	|- ( ph -> G : I --> K )
lcomf.h	|- ( ph -> H : I --> B )
lcomf.i	|- ( ph -> I e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcomf	|- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lcomf.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
3		lcomf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		lcomf.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		lcomf.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 13937	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
7	6	3expb 1206	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
8	1, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
9		lcomf.g	. 2 |- ( ph -> G : I --> K )
10		lcomf.h	. 2 |- ( ph -> H : I --> B )
11		lcomf.i	. 2 |- ( ph -> I e. V )
12		inidm 3373	. 2 |- ( I i^i I ) = I
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6152	1 |- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137   Basecbs 12703  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784   LModclmod 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-lmod 13921

This theorem is referenced by: (None)