Theorem lcomf 13422

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	|- F = (Scalar ` W )
lcomf.k	|- K = ( Base ` F )
lcomf.s	|- .x. = ( .s ` W )
lcomf.b	|- B = ( Base ` W )
lcomf.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lcomf.g	|- ( ph -> G : I --> K )
lcomf.h	|- ( ph -> H : I --> B )
lcomf.i	|- ( ph -> I e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcomf	|- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lcomf.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
3		lcomf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		lcomf.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		lcomf.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 13400	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
7	6	3expb 1204	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
8	1, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
9		lcomf.g	. 2 |- ( ph -> G : I --> K )
10		lcomf.h	. 2 |- ( ph -> H : I --> B )
11		lcomf.i	. 2 |- ( ph -> I e. V )
12		inidm 3346	. 2 |- ( I i^i I ) = I
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6097	1 |- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   oFcof 6083   Basecbs 12464  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   LModclmod 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-lmod 13384

This theorem is referenced by: (None)