Theorem lcomf 14340

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	|- F = (Scalar ` W )
lcomf.k	|- K = ( Base ` F )
lcomf.s	|- .x. = ( .s ` W )
lcomf.b	|- B = ( Base ` W )
lcomf.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lcomf.g	|- ( ph -> G : I --> K )
lcomf.h	|- ( ph -> H : I --> B )
lcomf.i	|- ( ph -> I e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcomf	|- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lcomf.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
3		lcomf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		lcomf.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		lcomf.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 14318	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
7	6	3expb 1230	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
8	1, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
9		lcomf.g	. 2 |- ( ph -> G : I --> K )
10		lcomf.h	. 2 |- ( ph -> H : I --> B )
11		lcomf.i	. 2 |- ( ph -> I e. V )
12		inidm 3416	. 2 |- ( I i^i I ) = I
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6247	1 |- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   oFcof 6232   Basecbs 13081  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-lmod 14302

This theorem is referenced by: (None)