Theorem lcomf 14291

Description: A linear-combination sum is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	|- F = (Scalar ` W )
lcomf.k	|- K = ( Base ` F )
lcomf.s	|- .x. = ( .s ` W )
lcomf.b	|- B = ( Base ` W )
lcomf.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lcomf.g	|- ( ph -> G : I --> K )
lcomf.h	|- ( ph -> H : I --> B )
lcomf.i	|- ( ph -> I e. V )

Assertion

Ref	Expression
lcomf	|- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Proof of Theorem lcomf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomf.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lcomf.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
3		lcomf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		lcomf.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		lcomf.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
6	2, 3, 4, 5	lmodvscl 14269	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
7	6	3expb 1228	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
8	1, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
9		lcomf.g	. 2 |- ( ph -> G : I --> K )
10		lcomf.h	. 2 |- ( ph -> H : I --> B )
11		lcomf.i	. 2 |- ( ph -> I e. V )
12		inidm 3413	. 2 |- ( I i^i I ) = I
13	8, 9, 10, 11, 11, 12	off 6231	1 |- ( ph -> ( G oF .x. H ) : I --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   oFcof 6216   Basecbs 13032  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   LModclmod 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-of 6218  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-lmod 14253

This theorem is referenced by: (None)