Theorem lmrcl 14663

Description: Reverse closure for the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmrcl	|- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Proof of Theorem lmrcl

Dummy variables j f x y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 14662	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	dmmptss 5179	. 2 |- dom ~~> t C_ Top
3		df-br 4045	. . 3 |- ( F ( ~~> t ` J ) P <-> <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) )
4	1	funmpt2 5310	. . . . 5 |- Fun ~~> t
5		funrel 5288	. . . . 5 |- ( Fun ~~> t -> Rel ~~> t )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ~~> t
7		relelfvdm 5608	. . . 4 |- ( ( Rel ~~> t /\ <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) ) -> J e. dom ~~> t )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) -> J e. dom ~~> t )
9	3, 8	sylbi 121	. 2 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. dom ~~> t )
10	2, 9	sselid 3191	1 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   <.cop 3636   U.cuni 3850   class class class wbr 4044   {copab 4104   dom cdm 4675   ran crn 4676   |` cres 4677   Rel wrel 4680   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ^pm cpm 6736   CCcc 7923   ZZ>=cuz 9648   Topctop 14469   ~~> tclm 14659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-lm 14662

This theorem is referenced by:  lmcvg  14689  lmtopcnp  14722