Theorem lmrcl 14128

Description: Reverse closure for the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmrcl	|- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Proof of Theorem lmrcl

Dummy variables j f x y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 14127	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	dmmptss 5140	. 2 |- dom ~~> t C_ Top
3		df-br 4019	. . 3 |- ( F ( ~~> t ` J ) P <-> <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) )
4	1	funmpt2 5271	. . . . 5 |- Fun ~~> t
5		funrel 5249	. . . . 5 |- ( Fun ~~> t -> Rel ~~> t )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ~~> t
7		relelfvdm 5563	. . . 4 |- ( ( Rel ~~> t /\ <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) ) -> J e. dom ~~> t )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) -> J e. dom ~~> t )
9	3, 8	sylbi 121	. 2 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. dom ~~> t )
10	2, 9	sselid 3168	1 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   <.cop 3610   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   {copab 4078   dom cdm 4641   ran crn 4642   |` cres 4643   Rel wrel 4646   Fun wfun 5226   -->wf 5228   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   ^pm cpm 6670   CCcc 7834   ZZ>=cuz 9553   Topctop 13934   ~~> tclm 14124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-lm 14127

This theorem is referenced by:  lmcvg  14154  lmtopcnp  14187