Theorem lmrcl 12203

Description: Reverse closure for the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmrcl	|- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Proof of Theorem lmrcl

Dummy variables j f x y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 12202	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	dmmptss 4993	. 2 |- dom ~~> t C_ Top
3		df-br 3896	. . 3 |- ( F ( ~~> t ` J ) P <-> <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) )
4	1	funmpt2 5120	. . . . 5 |- Fun ~~> t
5		funrel 5098	. . . . 5 |- ( Fun ~~> t -> Rel ~~> t )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- Rel ~~> t
7		relelfvdm 5407	. . . 4 |- ( ( Rel ~~> t /\ <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) ) -> J e. dom ~~> t )
8	6, 7	mpan 418	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) -> J e. dom ~~> t )
9	3, 8	sylbi 120	. 2 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. dom ~~> t )
10	2, 9	sseldi 3061	1 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 945   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   <.cop 3496   U.cuni 3702   class class class wbr 3895   {copab 3948   dom cdm 4499   ran crn 4500   |` cres 4501   Rel wrel 4504   Fun wfun 5075   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   ^pm cpm 6497   CCcc 7545   ZZ>=cuz 9228   Topctop 12007   ~~> tclm 12199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-lm 12202

This theorem is referenced by:  lmcvg  12228  lmtopcnp  12261