Theorem lmrcl 13776

Description: Reverse closure for the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmrcl	|- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Proof of Theorem lmrcl

Dummy variables j f x y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 13775	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	dmmptss 5127	. 2 |- dom ~~> t C_ Top
3		df-br 4006	. . 3 |- ( F ( ~~> t ` J ) P <-> <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) )
4	1	funmpt2 5257	. . . . 5 |- Fun ~~> t
5		funrel 5235	. . . . 5 |- ( Fun ~~> t -> Rel ~~> t )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ~~> t
7		relelfvdm 5549	. . . 4 |- ( ( Rel ~~> t /\ <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) ) -> J e. dom ~~> t )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( ~~> t ` J ) -> J e. dom ~~> t )
9	3, 8	sylbi 121	. 2 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. dom ~~> t )
10	2, 9	sselid 3155	1 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   <.cop 3597   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   {copab 4065   dom cdm 4628   ran crn 4629   |` cres 4630   Rel wrel 4633   Fun wfun 5212   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^pm cpm 6651   CCcc 7811   ZZ>=cuz 9530   Topctop 13582   ~~> tclm 13772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-lm 13775

This theorem is referenced by:  lmcvg  13802  lmtopcnp  13835