Theorem lmcvg 12857

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmcvg.3	|- ( ph -> P e. U )
lmcvg.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcvg.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcvg.6	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Distinct variable groups:   j, k, F   j, J, k   P, j, k   ph, j, k   U, j, k   j, M   j, Z, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 |- ( ph -> P e. U )
2		eleq2 2230	. . . 4 |- ( u = U -> ( P e. u <-> P e. U ) )
3		eleq2 2230	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. U ) )
4	3	rexralbidv 2492	. . . 4 |- ( u = U -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
5	2, 4	imbi12d 233	. . 3 |- ( u = U -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
6		lmcvg.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
7		lmrcl 12831	. . . . . . . . 9 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
9		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
10	9	toptopon 12656	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
11	8, 10	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		lmcvg.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		lmcvg.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	11, 12, 13	lmbr2 12854	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
15	6, 14	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
16	15	simp3d 1001	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> ( F ` k ) e. u )
18	17	ralimi 2529	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
19	18	reximi 2563	. . . . . 6 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
20	19	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
21	20	ralimi 2529	. . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
22	16, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
23		lmcvg.6	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
24	5, 22, 23	rspcdva 2835	. 2 |- ( ph -> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
25	1, 24	mpd 13	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^pm cpm 6615   CCcc 7751   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   ~~> tclm 12827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-top 12636  df-topon 12649  df-lm 12830

This theorem is referenced by: (None)