Theorem lmcvg 15028

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmcvg.3	|- ( ph -> P e. U )
lmcvg.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcvg.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcvg.6	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Distinct variable groups:   j, k, F   j, J, k   P, j, k   ph, j, k   U, j, k   j, M   j, Z, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 |- ( ph -> P e. U )
2		eleq2 2295	. . . 4 |- ( u = U -> ( P e. u <-> P e. U ) )
3		eleq2 2295	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. U ) )
4	3	rexralbidv 2559	. . . 4 |- ( u = U -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . 3 |- ( u = U -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
6		lmcvg.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
7		lmrcl 15003	. . . . . . . . 9 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
9		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
10	9	toptopon 14829	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		lmcvg.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		lmcvg.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	11, 12, 13	lmbr2 15025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
15	6, 14	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
16	15	simp3d 1038	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> ( F ` k ) e. u )
18	17	ralimi 2596	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
19	18	reximi 2630	. . . . . 6 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
20	19	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
21	20	ralimi 2596	. . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
22	16, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
23		lmcvg.6	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
24	5, 22, 23	rspcdva 2916	. 2 |- ( ph -> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
25	1, 24	mpd 13	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^pm cpm 6861   CCcc 8090   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   Topctop 14808  TopOnctopon 14821   ~~> tclm 14998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pm 6863  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-top 14809  df-topon 14822  df-lm 15001

This theorem is referenced by: (None)