Theorem lmcvg 14804

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmcvg.3	|- ( ph -> P e. U )
lmcvg.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcvg.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcvg.6	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Distinct variable groups:   j, k, F   j, J, k   P, j, k   ph, j, k   U, j, k   j, M   j, Z, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 |- ( ph -> P e. U )
2		eleq2 2271	. . . 4 |- ( u = U -> ( P e. u <-> P e. U ) )
3		eleq2 2271	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. U ) )
4	3	rexralbidv 2534	. . . 4 |- ( u = U -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . 3 |- ( u = U -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
6		lmcvg.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
7		lmrcl 14778	. . . . . . . . 9 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
9		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
10	9	toptopon 14605	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		lmcvg.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		lmcvg.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	11, 12, 13	lmbr2 14801	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
15	6, 14	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
16	15	simp3d 1014	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> ( F ` k ) e. u )
18	17	ralimi 2571	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
19	18	reximi 2605	. . . . . 6 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
20	19	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
21	20	ralimi 2571	. . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
22	16, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
23		lmcvg.6	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
24	5, 22, 23	rspcdva 2889	. 2 |- ( ph -> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
25	1, 24	mpd 13	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   dom cdm 4693   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^pm cpm 6759   CCcc 7958   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   ~~> tclm 14774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pm 6761  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-top 14585  df-topon 14598  df-lm 14777

This theorem is referenced by: (None)