Theorem lmcvg 12167

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmcvg.3	|- ( ph -> P e. U )
lmcvg.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcvg.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcvg.6	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Distinct variable groups:   j, k, F   j, J, k   P, j, k   ph, j, k   U, j, k   j, M   j, Z, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 |- ( ph -> P e. U )
2		eleq2 2163	. . . 4 |- ( u = U -> ( P e. u <-> P e. U ) )
3		eleq2 2163	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. U ) )
4	3	rexralbidv 2420	. . . 4 |- ( u = U -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
5	2, 4	imbi12d 233	. . 3 |- ( u = U -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
6		lmcvg.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
7		lmrcl 12142	. . . . . . . . 9 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
9		eqid 2100	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
10	9	toptopon 11967	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
11	8, 10	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		lmcvg.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		lmcvg.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	11, 12, 13	lmbr2 12164	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
15	6, 14	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
16	15	simp3d 963	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> ( F ` k ) e. u )
18	17	ralimi 2454	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
19	18	reximi 2488	. . . . . 6 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
20	19	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
21	20	ralimi 2454	. . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
22	16, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
23		lmcvg.6	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
24	5, 22, 23	rspcdva 2749	. 2 |- ( ph -> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
25	1, 24	mpd 13	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   U.cuni 3683   class class class wbr 3875   dom cdm 4477   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ^pm cpm 6473   CCcc 7498   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   Topctop 11946  TopOnctopon 11959   ~~> tclm 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pm 6475  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-top 11947  df-topon 11960  df-lm 12141

This theorem is referenced by: (None)