Theorem lmfval 15294

Description: The relation "sequence f converges to point y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmfval	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, X   u, f, J, x, y

Allowed substitution hint:   X( u)

Proof of Theorem lmfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 15291	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> j = J )
4	3	unieqd 3946	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 15116	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = X )
8	7	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( U. j ^pm CC ) = ( X ^pm CC ) )
9	8	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( f e. ( U. j ^pm CC ) <-> f e. ( X ^pm CC ) ) )
10	7	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( x e. U. j <-> x e. X ) )
11	3	raleqdv 2755	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
12	9, 10, 11	3anbi123d 1353	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) ) )
13	12	opabbidv 4197	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
14		topontop 15115	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
15		df-3an 1011	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
16	15	opabbii 4198	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
17		opabssxp 4849	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
18	16, 17	eqsstri 3280	. . 3 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
19		fnpm 6930	. . . . 5 |- ^pm Fn ( _V X. _V )
20		toponmax 15126	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
21	20	elexd 2835	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
22		cnex 8303	. . . . . 6 |- CC e. _V
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> CC e. _V )
24		fnovex 6118	. . . . 5 |- ( ( ^pm Fn ( _V X. _V ) /\ X e. _V /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1383	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
26		xpexg 4889	. . . 4 |- ( ( ( X ^pm CC ) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
27	25, 20, 26	syl2anc 415	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
28		ssexg 4272	. . 3 |- ( ( { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X ) /\ ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
29	18, 27, 28	sylancr 418	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
30	2, 13, 14, 29	fvmptd 5786	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U.cuni 3935   {copab 4191   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   ran crn 4775   |` cres 4776   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^pm cpm 6923   CCcc 8177   ZZ>=cuz 9921   Topctop 15098  TopOnctopon 15111   ~~> tclm 15288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pm 6925  df-top 15099  df-topon 15112  df-lm 15291

This theorem is used by:  lmbr  15314  sslm  15348