Theorem lmfval 14882

Description: The relation "sequence f converges to point y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmfval	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, X   u, f, J, x, y

Allowed substitution hint:   X( u)

Proof of Theorem lmfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 14879	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> j = J )
4	3	unieqd 3899	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 14704	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = X )
8	7	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( U. j ^pm CC ) = ( X ^pm CC ) )
9	8	eleq2d 2299	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( f e. ( U. j ^pm CC ) <-> f e. ( X ^pm CC ) ) )
10	7	eleq2d 2299	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( x e. U. j <-> x e. X ) )
11	3	raleqdv 2734	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
12	9, 10, 11	3anbi123d 1346	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) ) )
13	12	opabbidv 4150	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
14		topontop 14703	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
15		df-3an 1004	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
16	15	opabbii 4151	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
17		opabssxp 4793	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
18	16, 17	eqsstri 3256	. . 3 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
19		fnpm 6811	. . . . 5 |- ^pm Fn ( _V X. _V )
20		toponmax 14714	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
21	20	elexd 2813	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
22		cnex 8134	. . . . . 6 |- CC e. _V
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> CC e. _V )
24		fnovex 6040	. . . . 5 |- ( ( ^pm Fn ( _V X. _V ) /\ X e. _V /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1376	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
26		xpexg 4833	. . . 4 |- ( ( ( X ^pm CC ) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
27	25, 20, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
28		ssexg 4223	. . 3 |- ( ( { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X ) /\ ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
29	18, 27, 28	sylancr 414	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
30	2, 13, 14, 29	fvmptd 5717	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3888   {copab 4144   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   ran crn 4720   |` cres 4721   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^pm cpm 6804   CCcc 8008   ZZ>=cuz 9733   Topctop 14686  TopOnctopon 14699   ~~> tclm 14876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pm 6806  df-top 14687  df-topon 14700  df-lm 14879

This theorem is referenced by:  lmbr  14902  sslm  14936