Theorem lmfval 14360

Description: The relation "sequence f converges to point y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmfval	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, X   u, f, J, x, y

Allowed substitution hint:   X( u)

Proof of Theorem lmfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 14358	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> j = J )
4	3	unieqd 3846	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 14183	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = X )
8	7	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( U. j ^pm CC ) = ( X ^pm CC ) )
9	8	eleq2d 2263	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( f e. ( U. j ^pm CC ) <-> f e. ( X ^pm CC ) ) )
10	7	eleq2d 2263	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( x e. U. j <-> x e. X ) )
11	3	raleqdv 2696	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
12	9, 10, 11	3anbi123d 1323	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) ) )
13	12	opabbidv 4095	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
14		topontop 14182	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
15		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
16	15	opabbii 4096	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
17		opabssxp 4733	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
18	16, 17	eqsstri 3211	. . 3 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
19		fnpm 6710	. . . . 5 |- ^pm Fn ( _V X. _V )
20		toponmax 14193	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
21	20	elexd 2773	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
22		cnex 7996	. . . . . 6 |- CC e. _V
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> CC e. _V )
24		fnovex 5951	. . . . 5 |- ( ( ^pm Fn ( _V X. _V ) /\ X e. _V /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1353	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
26		xpexg 4773	. . . 4 |- ( ( ( X ^pm CC ) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
27	25, 20, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
28		ssexg 4168	. . 3 |- ( ( { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X ) /\ ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
29	18, 27, 28	sylancr 414	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
30	2, 13, 14, 29	fvmptd 5638	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   U.cuni 3835   {copab 4089   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   ran crn 4660   |` cres 4661   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   ZZ>=cuz 9592   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   ~~> tclm 14355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pm 6705  df-top 14166  df-topon 14179  df-lm 14358

This theorem is referenced by:  lmreltop  14361  lmbr  14381  sslm  14415