Theorem lmfval 12733

Description: The relation "sequence f converges to point y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmfval	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, X   u, f, J, x, y

Allowed substitution hint:   X( u)

Proof of Theorem lmfval

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lm 12731	. . 3 |- ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ~~> t = ( j e. Top |-> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
3		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> j = J )
4	3	unieqd 3794	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = U. J )
5		toponuni 12554	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> X = U. J )
7	4, 6	eqtr4d 2200	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> U. j = X )
8	7	oveq1d 5851	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( U. j ^pm CC ) = ( X ^pm CC ) )
9	8	eleq2d 2234	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( f e. ( U. j ^pm CC ) <-> f e. ( X ^pm CC ) ) )
10	7	eleq2d 2234	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( x e. U. j <-> x e. X ) )
11	3	raleqdv 2665	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
12	9, 10, 11	3anbi123d 1301	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> ( ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) ) )
13	12	opabbidv 4042	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ j = J ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( U. j ^pm CC ) /\ x e. U. j /\ A. u e. j ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
14		topontop 12553	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
15		df-3an 969	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
16	15	opabbii 4043	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
17		opabssxp 4672	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
18	16, 17	eqsstri 3169	. . 3 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X )
19		fnpm 6613	. . . . 5 |- ^pm Fn ( _V X. _V )
20		toponmax 12564	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
21	20	elexd 2734	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. _V )
22		cnex 7868	. . . . . 6 |- CC e. _V
23	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> CC e. _V )
24		fnovex 5866	. . . . 5 |- ( ( ^pm Fn ( _V X. _V ) /\ X e. _V /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
25	19, 21, 23, 24	mp3an2i 1331	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( X ^pm CC ) e. _V )
26		xpexg 4712	. . . 4 |- ( ( ( X ^pm CC ) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
27	25, 20, 26	syl2anc 409	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V )
28		ssexg 4115	. . 3 |- ( ( { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } C_ ( ( X ^pm CC ) X. X ) /\ ( ( X ^pm CC ) X. X ) e. _V ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
29	18, 27, 28	sylancr 411	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } e. _V )
30	2, 13, 14, 29	fvmptd 5561	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   U.cuni 3783   {copab 4036   |-> cmpt 4037   X. cxp 4596   ran crn 4599   |` cres 4600   Fn wfn 5177   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ^pm cpm 6606   CCcc 7742   ZZ>=cuz 9457   Topctop 12536  TopOnctopon 12549   ~~> tclm 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-cnex 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pm 6608  df-top 12537  df-topon 12550  df-lm 12731

This theorem is referenced by:  lmreltop  12734  lmbr  12754  sslm  12788