Theorem ltadd2d 8396

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2d	|- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )

Proof of Theorem ltadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltadd2d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltadd2d.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
4		ltadd2 8394	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	1 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7828   + caddc 7832   < clt 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-iota 5193  df-fv 5239  df-ov 5894  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015

This theorem is referenced by:  ltadd2dd  8397  lt2add  8420