Theorem ltadd2i 8602

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2i.1	|- A e. RR
ltadd2i.2	|- B e. RR
ltadd2i.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2i	|- ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2i.1	. 2 |- A e. RR
2		ltadd2i.2	. 2 |- B e. RR
3		ltadd2i.3	. 2 |- C e. RR
4		ltadd2 8601	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1373	1 |- ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2201   class class class wbr 4087  (class class class)co 6020   RRcr 8033   + caddc 8037   < clt 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-i2m1 8139  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-xp 4730  df-iota 5285  df-fv 5333  df-ov 6023  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-ltxr 8221

This theorem is referenced by:  numlt  9637