Theorem ltadd2i 8408

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2i.1	|- A e. RR
ltadd2i.2	|- B e. RR
ltadd2i.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2i	|- ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2i.1	. 2 |- A e. RR
2		ltadd2i.2	. 2 |- B e. RR
3		ltadd2i.3	. 2 |- C e. RR
4		ltadd2 8407	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1348	1 |- ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   + caddc 7845   < clt 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028

This theorem is referenced by:  numlt  9439