Theorem ltadd2dd 7803

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd2d 7802	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 145	1 |- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   RRcr 7252   + caddc 7256   < clt 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-iota 4934  df-fv 4977  df-ov 5594  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9318  rebtwn2zlemstep  9553  rebtwn2z  9555  2tnp1ge0ge0  9597  cvg1nlemcau  10244  resqrexlemdec  10271