Theorem ltadd2dd 8297

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd2d 8296	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 146	1 |- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   + caddc 7735   < clt 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9911  rebtwn2zlemstep  10152  rebtwn2z  10154  2tnp1ge0ge0  10200  cvg1nlemcau  10884  resqrexlemdec  10911  cos12dec  11664  eirraplem  11673  ivthinclemlopn  13025  cosq23lt0  13165  cosordlem  13181