Theorem ltadd2dd 8392

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd2d 8391	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( C + A ) < ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823   + caddc 7827   < clt 8005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  10020  rebtwn2zlemstep  10266  rebtwn2z  10268  2tnp1ge0ge0  10314  cvg1nlemcau  11006  resqrexlemdec  11033  cos12dec  11788  eirraplem  11797  ivthinclemlopn  14385  cosq23lt0  14525  cosordlem  14541