Theorem mapsnf1o 6703

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
2	1	ixpsnf1o 6702	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
4		snexg 4163	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝐼} ∈ V)
5		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		ixpconstg 6673	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 = (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))
7	6	eqcomd 2171	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
8	4, 5, 7	syl2an2 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
9		f1oeq3 5423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
11	3, 10	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  {csn 3576   ↦ cmpt 4043   × cxp 4602  –1-1-onto→wf1o 5187  (class class class)co 5842   ↑_𝑚 cmap 6614  Xcixp 6664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616  df-ixp 6665

This theorem is referenced by: (None)