Theorem mapsnf1o 6791

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
2	1	ixpsnf1o 6790	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
4		snexg 4213	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝐼} ∈ V)
5		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		ixpconstg 6761	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 = (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))
7	6	eqcomd 2199	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
8	4, 5, 7	syl2an2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
9		f1oeq3 5490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
11	3, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3618   ↦ cmpt 4090   × cxp 4657  –1-1-onto→wf1o 5253  (class class class)co 5918   ↑_𝑚 cmap 6702  Xcixp 6752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-ixp 6753

This theorem is referenced by: (None)