ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o GIF version

Theorem mapsnf1o 6730
Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ixpsnf1o.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐴1-1-onto→(𝐴𝑚 {𝐼}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpsnf1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
21ixpsnf1o 6729 . . 3 (𝐼𝑊𝐹:𝐴1-1-ontoX𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
32adantl 277 . 2 ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐴1-1-ontoX𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
4 snexg 4181 . . . 4 (𝐼𝑊 → {𝐼} ∈ V)
5 simpl 109 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → 𝐴𝑉)
6 ixpconstg 6700 . . . . 5 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 = (𝐴𝑚 {𝐼}))
76eqcomd 2183 . . . 4 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
84, 5, 7syl2an2 594 . . 3 ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → (𝐴𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
9 f1oeq3 5446 . . 3 ((𝐴𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→(𝐴𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴1-1-ontoX𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
108, 9syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → (𝐹:𝐴1-1-onto→(𝐴𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴1-1-ontoX𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
113, 10mpbird 167 1 ((𝐴𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐴1-1-onto→(𝐴𝑚 {𝐼}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3591  cmpt 4061   × cxp 4620  1-1-ontowf1o 5210  (class class class)co 5868  𝑚 cmap 6641  Xcixp 6691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-map 6643  df-ixp 6692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator