Theorem mapsnf1o 6972

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
2	1	ixpsnf1o 6971	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
4		snexg 4297	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝐼} ∈ V)
5		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		ixpconstg 6942	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 = (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))
7	6	eqcomd 2238	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
8	4, 5, 7	syl2an2 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴)
9		f1oeq3 5604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) = X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}) ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→X𝑦 ∈ {𝐼}𝐴))
11	3, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→(𝐴 ↑𝑚 {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  {csn 3689   ↦ cmpt 4171   × cxp 4747  –1-1-onto→wf1o 5351  (class class class)co 6050   ↑_𝑚 cmap 6882  Xcixp 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884  df-ixp 6934

This theorem is referenced by:  pwssnf1o  13511