Theorem mapsnf1o3 6865

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6864. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsnf1o3.f	|- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	|- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Distinct variable groups:   y, B   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
2		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
3		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6864	. . 3 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B
6		f1ocnv 5596	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B -> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S )
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 |- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6863	. . . 4 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
10	8, 9	eqtr4i 2255	. . 3 |- F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
11		f1oeq1 5571	. . 3 |- ( F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) -> ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
13	7, 12	mpbir 146	1 |- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818

This theorem is referenced by: (None)