Theorem mapsnf1o3 6786

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6785. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsnf1o3.f	|- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	|- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Distinct variable groups:   y, B   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
2		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
3		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
4		eqid 2205	. . . 4 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6785	. . 3 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B
6		f1ocnv 5537	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B -> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S )
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 |- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6784	. . . 4 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
10	8, 9	eqtr4i 2229	. . 3 |- F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
11		f1oeq1 5512	. . 3 |- ( F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) -> ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
13	7, 12	mpbir 146	1 |- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   |-> cmpt 4106   X. cxp 4674   `'ccnv 4675   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ^m cmap 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-map 6739

This theorem is referenced by: (None)