ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o3 Unicode version

Theorem mapsnf1o3 6675
Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6674. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsnf1o3.f  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o3  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Distinct variable groups:    y, B    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
2 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
4 eqid 2170 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 6674 . . 3  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B
6 f1ocnv 5455 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  ->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S )
8 mapsnf1o3.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
91, 2, 3, 4mapsncnv 6673 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
108, 9eqtr4i 2194 . . 3  |-  F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
11 f1oeq1 5431 . . 3  |-  ( F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  ->  ( F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) ) )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
)  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
137, 12mpbir 145 1  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609   `'ccnv 4610   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    ^m cmap 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator