Theorem mapsnf1o3 6844

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6843. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsnf1o3.f	|- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	|- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Distinct variable groups:   y, B   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
2		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
3		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6843	. . 3 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B
6		f1ocnv 5585	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B -> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S )
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 |- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6842	. . . 4 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
10	8, 9	eqtr4i 2253	. . 3 |- F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
11		f1oeq1 5560	. . 3 |- ( F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) -> ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
13	7, 12	mpbir 146	1 |- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-map 6797

This theorem is referenced by: (None)