ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o3 Unicode version

Theorem mapsnf1o3 6559
Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6558. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsnf1o3.f  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o3  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Distinct variable groups:    y, B    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
2 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
4 eqid 2117 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 6558 . . 3  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B
6 f1ocnv 5348 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  ->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S )
8 mapsnf1o3.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
91, 2, 3, 4mapsncnv 6557 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
108, 9eqtr4i 2141 . . 3  |-  F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
11 f1oeq1 5326 . . 3  |-  ( F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  ->  ( F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) ) )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
)  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
137, 12mpbir 145 1  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   {csn 3497    |-> cmpt 3959    X. cxp 4507   `'ccnv 4508   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093  (class class class)co 5742    ^m cmap 6510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-map 6512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator