Theorem mapsnf1o3 6718

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6717. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsnf1o3.f	|- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	|- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Distinct variable groups:   y, B   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
2		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
3		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
4		eqid 2189	. . . 4 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6717	. . 3 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B
6		f1ocnv 5490	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B -> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S )
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 |- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6716	. . . 4 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
10	8, 9	eqtr4i 2213	. . 3 |- F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
11		f1oeq1 5465	. . 3 |- ( F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) -> ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
13	7, 12	mpbir 146	1 |- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   |-> cmpt 4079   X. cxp 4639   `'ccnv 4640   -1-1-onto->wf1o 5231   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   ^m cmap 6669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-map 6671

This theorem is referenced by: (None)