Theorem mapsnf1o3 6751

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6750. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V
mapsnf1o3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	⊢ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
2		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		mapsncnv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
4		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 6750	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵
6		f1ocnv 5513	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵 → ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 6749	. . . 4 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
10	8, 9	eqtr4i 2217	. . 3 ⊢ 𝐹 = ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
11		f1oeq1 5488	. . 3 ⊢ (𝐹 = ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↔ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↔ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋)):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆))
13	7, 12	mpbir 146	1 ⊢ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 𝑆)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3618   ↦ cmpt 4090   × cxp 4657  ^◡ccnv 4658  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ↑_𝑚 cmap 6702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704

This theorem is referenced by: (None)