ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o3 GIF version

Theorem mapsnf1o3 6691
Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 6690. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x 𝑋 ∈ V
mapsnf1o3.f 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o3 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem mapsnf1o3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.s . . . 4 𝑆 = {𝑋}
2 mapsncnv.b . . . 4 𝐵 ∈ V
3 mapsncnv.x . . . 4 𝑋 ∈ V
4 eqid 2177 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 6690 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):(𝐵𝑚 𝑆)–1-1-onto𝐵
6 f1ocnv 5470 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):(𝐵𝑚 𝑆)–1-1-onto𝐵(𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆))
75, 6ax-mp 5 . 2 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆)
8 mapsnf1o3.f . . . 4 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
91, 2, 3, 4mapsncnv 6689 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
108, 9eqtr4i 2201 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋))
11 f1oeq1 5445 . . 3 (𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)) → (𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆)))
1210, 11ax-mp 5 . 2 (𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) ↦ (𝑥𝑋)):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆))
137, 12mpbir 146 1 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3591  cmpt 4061   × cxp 4621  ccnv 4622  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212  (class class class)co 5869  𝑚 cmap 6642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-map 6644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator