ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o2 Unicode version

Theorem mapsnf1o2 6714
Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsncnv.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o2  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Distinct variable groups:    x, B    x, S
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
31, 2fvex 5550 . . 3  |-  ( x `
 X )  e. 
_V
4 mapsncnv.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
53, 4fnmpti 5359 . 2  |-  F  Fn  ( B  ^m  S )
6 mapsncnv.s . . . . 5  |-  S  =  { X }
72snex 4200 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
86, 7eqeltri 2262 . . . 4  |-  S  e. 
_V
9 vex 2755 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109snex 4200 . . . 4  |-  { y }  e.  _V
118, 10xpex 4756 . . 3  |-  ( S  X.  { y } )  e.  _V
12 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
136, 12, 2, 4mapsncnv 6713 . . 3  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
1411, 13fnmpti 5359 . 2  |-  `' F  Fn  B
15 dff1o4 5484 . 2  |-  ( F : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  <->  ( F  Fn  ( B  ^m  S )  /\  `' F  Fn  B ) )
165, 14, 15mpbir2an 944 1  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607    |-> cmpt 4079    X. cxp 4639   `'ccnv 4640    Fn wfn 5226   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231  (class class class)co 5891    ^m cmap 6666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-map 6668
This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6715
  Copyright terms: Public domain W3C validator