Theorem mapsnf1o2 6750

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	|- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Distinct variable groups:   x, B   x, S

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . 4 |- x e. _V
2		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
3	1, 2	fvex 5574	. . 3 |- ( x ` X ) e. _V
4		mapsncnv.f	. . 3 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	3, 4	fnmpti 5382	. 2 |- F Fn ( B ^m S )
6		mapsncnv.s	. . . . 5 |- S = { X }
7	2	snex 4214	. . . . 5 |- { X } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2266	. . . 4 |- S e. _V
9		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	snex 4214	. . . 4 |- { y } e. _V
11	8, 10	xpex 4774	. . 3 |- ( S X. { y } ) e. _V
12		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6749	. . 3 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
14	11, 13	fnmpti 5382	. 2 |- `' F Fn B
15		dff1o4 5508	. 2 |- ( F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B <-> ( F Fn ( B ^m S ) /\ `' F Fn B ) )
16	5, 14, 15	mpbir2an 944	1 |- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   Fn wfn 5249   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6751