ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o2 Unicode version

Theorem mapsnf1o2 6674
Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsncnv.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o2  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Distinct variable groups:    x, B    x, S
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2733 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
31, 2fvex 5516 . . 3  |-  ( x `
 X )  e. 
_V
4 mapsncnv.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
53, 4fnmpti 5326 . 2  |-  F  Fn  ( B  ^m  S )
6 mapsncnv.s . . . . 5  |-  S  =  { X }
72snex 4171 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
86, 7eqeltri 2243 . . . 4  |-  S  e. 
_V
9 vex 2733 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109snex 4171 . . . 4  |-  { y }  e.  _V
118, 10xpex 4726 . . 3  |-  ( S  X.  { y } )  e.  _V
12 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
136, 12, 2, 4mapsncnv 6673 . . 3  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
1411, 13fnmpti 5326 . 2  |-  `' F  Fn  B
15 dff1o4 5450 . 2  |-  ( F : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  <->  ( F  Fn  ( B  ^m  S )  /\  `' F  Fn  B ) )
165, 14, 15mpbir2an 937 1  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609   `'ccnv 4610    Fn wfn 5193   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    ^m cmap 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628
This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6675
  Copyright terms: Public domain W3C validator