ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o2 Unicode version

Theorem mapsnf1o2 6641
Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsncnv.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o2  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Distinct variable groups:    x, B    x, S
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2715 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
31, 2fvex 5488 . . 3  |-  ( x `
 X )  e. 
_V
4 mapsncnv.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
53, 4fnmpti 5298 . 2  |-  F  Fn  ( B  ^m  S )
6 mapsncnv.s . . . . 5  |-  S  =  { X }
72snex 4146 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
86, 7eqeltri 2230 . . . 4  |-  S  e. 
_V
9 vex 2715 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109snex 4146 . . . 4  |-  { y }  e.  _V
118, 10xpex 4701 . . 3  |-  ( S  X.  { y } )  e.  _V
12 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
136, 12, 2, 4mapsncnv 6640 . . 3  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
1411, 13fnmpti 5298 . 2  |-  `' F  Fn  B
15 dff1o4 5422 . 2  |-  ( F : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  <->  ( F  Fn  ( B  ^m  S )  /\  `' F  Fn  B ) )
165, 14, 15mpbir2an 927 1  |-  F :
( B  ^m  S
)
-1-1-onto-> B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {csn 3560    |-> cmpt 4025    X. cxp 4584   `'ccnv 4585    Fn wfn 5165   -1-1-onto->wf1o 5169   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    ^m cmap 6593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-map 6595
This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6642
  Copyright terms: Public domain W3C validator