Theorem mapsnf1o2 6796

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	|- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Distinct variable groups:   x, B   x, S

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . 4 |- x e. _V
2		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
3	1, 2	fvex 5609	. . 3 |- ( x ` X ) e. _V
4		mapsncnv.f	. . 3 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	3, 4	fnmpti 5414	. 2 |- F Fn ( B ^m S )
6		mapsncnv.s	. . . . 5 |- S = { X }
7	2	snex 4237	. . . . 5 |- { X } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2279	. . . 4 |- S e. _V
9		vex 2776	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	snex 4237	. . . 4 |- { y } e. _V
11	8, 10	xpex 4798	. . 3 |- ( S X. { y } ) e. _V
12		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6795	. . 3 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
14	11, 13	fnmpti 5414	. 2 |- `' F Fn B
15		dff1o4 5542	. 2 |- ( F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B <-> ( F Fn ( B ^m S ) /\ `' F Fn B ) )
16	5, 14, 15	mpbir2an 945	1 |- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   {csn 3638   |-> cmpt 4113   X. cxp 4681   `'ccnv 4682   Fn wfn 5275   -1-1-onto->wf1o 5279   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   ^m cmap 6748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-map 6750

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6797