Theorem mapsnf1o2 6583

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	|- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Distinct variable groups:   x, B   x, S

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2684	. . . 4 |- x e. _V
2		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
3	1, 2	fvex 5434	. . 3 |- ( x ` X ) e. _V
4		mapsncnv.f	. . 3 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	3, 4	fnmpti 5246	. 2 |- F Fn ( B ^m S )
6		mapsncnv.s	. . . . 5 |- S = { X }
7	2	snex 4104	. . . . 5 |- { X } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2210	. . . 4 |- S e. _V
9		vex 2684	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	snex 4104	. . . 4 |- { y } e. _V
11	8, 10	xpex 4649	. . 3 |- ( S X. { y } ) e. _V
12		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6582	. . 3 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
14	11, 13	fnmpti 5246	. 2 |- `' F Fn B
15		dff1o4 5368	. 2 |- ( F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B <-> ( F Fn ( B ^m S ) /\ `' F Fn B ) )
16	5, 14, 15	mpbir2an 926	1 |- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   |-> cmpt 3984   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   Fn wfn 5113   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6584