Theorem mapsnf1o2 6851

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsncnv.f	|- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	|- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Distinct variable groups:   x, B   x, S

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . 4 |- x e. _V
2		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
3	1, 2	fvex 5649	. . 3 |- ( x ` X ) e. _V
4		mapsncnv.f	. . 3 |- F = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	3, 4	fnmpti 5452	. 2 |- F Fn ( B ^m S )
6		mapsncnv.s	. . . . 5 |- S = { X }
7	2	snex 4269	. . . . 5 |- { X } e. _V
8	6, 7	eqeltri 2302	. . . 4 |- S e. _V
9		vex 2802	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	snex 4269	. . . 4 |- { y } e. _V
11	8, 10	xpex 4834	. . 3 |- ( S X. { y } ) e. _V
12		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6850	. . 3 |- `' F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
14	11, 13	fnmpti 5452	. 2 |- `' F Fn B
15		dff1o4 5582	. 2 |- ( F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B <-> ( F Fn ( B ^m S ) /\ `' F Fn B ) )
16	5, 14, 15	mpbir2an 948	1 |- F : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   Fn wfn 5313   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6852