Theorem mpoex 6423

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	|- A e. _V
mpoex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 |- A e. _V
2		mpoex.2	. . 3 |- B e. _V
3	2	rgenw 2599	. 2 |- A. x e. A B e. _V
4		eqid 2234	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	mpoexxg 6419	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
6	1, 3, 5	mp2an 426	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   e. cmpo 6060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348

This theorem is referenced by:  prdsex  14114  blfn  14825  cndsex  14827  cnfldstr  14832  mpocnfldadd  14835  mpocnfldmul  14837  fnpsr  14941