Theorem mpoex 6410

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	|- A e. _V
mpoex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 |- A e. _V
2		mpoex.2	. . 3 |- B e. _V
3	2	rgenw 2597	. 2 |- A. x e. A B e. _V
4		eqid 2232	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	mpoexxg 6406	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
6	1, 3, 5	mp2an 426	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   e. cmpo 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335

This theorem is referenced by:  prdsex  13482  blfn  14699  cndsex  14701  cnfldstr  14706  mpocnfldadd  14709  mpocnfldmul  14711  fnpsr  14815