Theorem mpoexxg 6265

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	|- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 6021	. 2 |- Fun F
3	1	dmmpossx 6254	. . 3 |- dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		snexg 4214	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { x } e. _V
7		xpexg 4774	. . . . . 6 |- ( ( { x } e. _V /\ B e. S ) -> ( { x } X. B ) e. _V )
8	6, 7	mpan 424	. . . . 5 |- ( B e. S -> ( { x } X. B ) e. _V )
9	8	ralimi 2557	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. S -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
10		iunexg 6173	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
11	9, 10	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
12		ssexg 4169	. . 3 |- ( ( dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> dom F e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> dom F e. _V )
14		funex 5782	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 414	1 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   {csn 3619   U_ciun 3913   X. cxp 4658   dom cdm 4660   Fun wfun 5249   e. cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  mpoexg  6266  mpoex  6269