Theorem mpoexxg 6189

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	|- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 5955	. 2 |- Fun F
3	1	dmmpossx 6178	. . 3 |- dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		snexg 4170	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { x } e. _V
7		xpexg 4725	. . . . . 6 |- ( ( { x } e. _V /\ B e. S ) -> ( { x } X. B ) e. _V )
8	6, 7	mpan 422	. . . . 5 |- ( B e. S -> ( { x } X. B ) e. _V )
9	8	ralimi 2533	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. S -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
10		iunexg 6098	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
11	9, 10	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
12		ssexg 4128	. . 3 |- ( ( dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> dom F e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 412	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> dom F e. _V )
14		funex 5719	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 412	1 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   {csn 3583   U_ciun 3873   X. cxp 4609   dom cdm 4611   Fun wfun 5192   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120

This theorem is referenced by:  mpoexg  6190  mpoex  6193