Theorem mpoexxg 6406

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	|- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 6155	. 2 |- Fun F
3	1	dmmpossx 6395	. . 3 |- dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4		vex 2816	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		snexg 4297	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { x } e. _V
7		xpexg 4864	. . . . . 6 |- ( ( { x } e. _V /\ B e. S ) -> ( { x } X. B ) e. _V )
8	6, 7	mpan 424	. . . . 5 |- ( B e. S -> ( { x } X. B ) e. _V )
9	8	ralimi 2605	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. S -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
10		iunexg 6312	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
11	9, 10	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
12		ssexg 4249	. . 3 |- ( ( dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> dom F e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> dom F e. _V )
14		funex 5909	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 414	1 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   {csn 3689   U_ciun 3991   X. cxp 4747   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   e. cmpo 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335

This theorem is referenced by:  mpoexg  6407  mpoex  6410