Theorem mpoexxg 6277

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	|- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 6028	. 2 |- Fun F
3	1	dmmpossx 6266	. . 3 |- dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4		vex 2766	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		snexg 4218	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { x } e. _V
7		xpexg 4778	. . . . . 6 |- ( ( { x } e. _V /\ B e. S ) -> ( { x } X. B ) e. _V )
8	6, 7	mpan 424	. . . . 5 |- ( B e. S -> ( { x } X. B ) e. _V )
9	8	ralimi 2560	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. S -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
10		iunexg 6185	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
11	9, 10	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
12		ssexg 4173	. . 3 |- ( ( dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> dom F e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> dom F e. _V )
14		funex 5788	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 414	1 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   {csn 3623   U_ciun 3917   X. cxp 4662   dom cdm 4664   Fun wfun 5253   e. cmpo 5927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208

This theorem is referenced by:  mpoexg  6278  mpoex  6281