Theorem mpoexg 6409

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexg	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B, x

Allowed substitution hints:   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( B e. S -> B e. _V )
2		elex 2827	. . . 4 |- ( B e. _V -> B e. _V )
3	2	ralrimivw 2618	. . 3 |- ( B e. _V -> A. x e. A B e. _V )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( B e. S -> A. x e. A B e. _V )
5		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
6	5	mpoexxg 6408	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. _V ) -> F e. _V )
7	4, 6	sylan2 286	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   e. cmpo 6054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337

This theorem is referenced by:  mpoexga  6410  xpsval  13582  rmodislmod  14516  psrval  14831