Theorem mpoexg 6357

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpoexg	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B, x

Allowed substitution hints:   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( B e. S -> B e. _V )
2		elex 2811	. . . 4 |- ( B e. _V -> B e. _V )
3	2	ralrimivw 2604	. . 3 |- ( B e. _V -> A. x e. A B e. _V )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( B e. S -> A. x e. A B e. _V )
5		mpoexg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
6	5	mpoexxg 6356	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. _V ) -> F e. _V )
7	4, 6	sylan2 286	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   e. cmpo 6003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287

This theorem is referenced by:  mpoexga  6358  xpsval  13385  rmodislmod  14315  psrval  14630