Theorem mpoexg 6179

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ V)
2		elex 2737	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
3	2	ralrimivw 2540	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
6	5	mpoexxg 6178	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	4, 6	sylan2 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726   ∈ cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109

This theorem is referenced by:  mpoexga  6180