ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpoexg GIF version

Theorem mpoexg 6229
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpoexg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpoexg ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexg
StepHypRef Expression
1 elex 2762 . . 3 (𝐵𝑆𝐵 ∈ V)
2 elex 2762 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
32ralrimivw 2563 . . 3 (𝐵 ∈ V → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
41, 3syl 14 . 2 (𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
5 mpoexg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
65mpoexxg 6228 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
74, 6sylan2 286 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2159  wral 2467  Vcvv 2751  cmpo 5892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159
This theorem is referenced by:  mpoexga  6230  xpsval  12793  rmodislmod  13627
  Copyright terms: Public domain W3C validator