Theorem mulgt0 8348

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulgt0 8345	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
2	1	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
3	2	an4s 592	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   x. cmul 8132   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-mulrcl 8226  ax-rnegex 8236  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  mulgt0d  8396  mullt0  8754  inelr  8858  apsqgt0  8875  rpmulcl  10011