Theorem mulgt0 8063

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulgt0 8060	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
2	1	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
3	2	an4s 588	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   x. cmul 7847   < clt 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939  ax-mulrcl 7941  ax-rnegex 7951  ax-pre-mulgt0 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028

This theorem is referenced by:  mulgt0d  8111  mullt0  8468  inelr  8572  apsqgt0  8589  rpmulcl  9710