Theorem mulgt0 8101

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulgt0 8098	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
2	1	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
3	2	an4s 588	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   x. cmul 7884   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-mulrcl 7978  ax-rnegex 7988  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  mulgt0d  8149  mullt0  8507  inelr  8611  apsqgt0  8628  rpmulcl  9753