Theorem mulgt0d 8195

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
mulgt0d.3	|- ( ph -> 0 < A )
mulgt0d.4	|- ( ph -> 0 < B )

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	|- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		mulgt0d.3	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		mulgt0d.4	. 2 |- ( ph -> 0 < B )
5		mulgt0 8147	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1251	1 |- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   x. cmul 7930   < clt 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-mulrcl 8024  ax-rnegex 8034  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112

This theorem is referenced by:  ltmul1a  8664  mulge0  8692  recgt0  8923  prodgt0gt0  8924  prodge0  8927  modqmulnn  10487  modqdi  10537  cos12dec  12079  tangtx  15310