Theorem mulgt0d 8082

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
mulgt0d.3	|- ( ph -> 0 < A )
mulgt0d.4	|- ( ph -> 0 < B )

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	|- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		mulgt0d.3	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		mulgt0d.4	. 2 |- ( ph -> 0 < B )
5		mulgt0 8034	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1239	1 |- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   x. cmul 7818   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-mulrcl 7912  ax-rnegex 7922  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999

This theorem is referenced by:  ltmul1a  8550  mulge0  8578  recgt0  8809  prodgt0gt0  8810  prodge0  8813  modqmulnn  10344  modqdi  10394  cos12dec  11777  tangtx  14344