ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 8528
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 8338 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2349 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 8071 . . . . . 6  |-  0  <  1
4 0re 7945 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
5 1re 7944 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 8044 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  -.  1  <  0
8 ixi 8527 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 8206 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2250 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 8446 . . . . . 6  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 7892 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312addid2i 8087 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 7904 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 4009 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 184 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 671 . . . 4  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 mullt0 8424 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0 )  /\  ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0
) )  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918anidms 397 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 115 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  <  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2117, 20mtoi 664 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  -.  _i  <  0 )
22 mulgt0 8019 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i )  /\  ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i ) )  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) )
2322anidms 397 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2423ex 115 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
0  <  _i  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2517, 24mtoi 664 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  -.  0  <  _i )
26 lttri3 8024 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( _i  =  0  <-> 
( -.  _i  <  0  /\  -.  0  < 
_i ) ) )
274, 26mpan2 425 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =  0  <->  ( -.  _i  <  0  /\ 
-.  0  <  _i ) ) )
2821, 25, 27mpbir2and 944 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
292, 28mto 662 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7798   0cc0 7799   1c1 7800   _ici 7801    + caddc 7802    x. cmul 7804    < clt 7979   -ucneg 8116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984  df-sub 8117  df-neg 8118
This theorem is referenced by:  rimul  8529
  Copyright terms: Public domain W3C validator