Theorem inelr 8628

Description: The imaginary unit _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	|- -. _i e. RR

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8437	. . 3 |- _i =/= 0
2	1	neii 2369	. 2 |- -. _i = 0
3		0lt1 8170	. . . . . 6 |- 0 < 1
4		0re 8043	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
5		1re 8042	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	4, 5	ltnsymi 8143	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
8		ixi 8627	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) = -u 1
9	5	renegcli 8305	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
10	8, 9	eqeltri 2269	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) e. RR
11	4, 10, 5	ltadd1i 8546	. . . . . 6 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
12		ax-1cn 7989	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12	addlidi 8186	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
14		ax-i2m1 8001	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
15	13, 14	breq12i 4043	. . . . . 6 |- ( ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) <-> 1 < 0 )
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> 1 < 0 )
17	7, 16	mtbir 672	. . . 4 |- -. 0 < ( _i x. _i )
18		mullt0 8524	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) /\ ( _i e. RR /\ _i < 0 ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
19	18	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( _i < 0 -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
21	17, 20	mtoi 665	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. _i < 0 )
22		mulgt0 8118	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) /\ ( _i e. RR /\ 0 < _i ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
23	22	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( 0 < _i -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
25	17, 24	mtoi 665	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. 0 < _i )
26		lttri3 8123	. . . 4 |- ( ( _i e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 |- ( _i e. RR -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
28	21, 25, 27	mpbir2and 946	. 2 |- ( _i e. RR -> _i = 0 )
29	2, 28	mto 663	1 |- -. _i e. RR

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   _ici 7898   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   -ucneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  rimul  8629