ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 8037
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 7851 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2257 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 7589 . . . . . 6  |-  0  <  1
4 0re 7467 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
5 1re 7466 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 7563 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 7 . . . . 5  |-  -.  1  <  0
8 ixi 8036 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 7723 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2160 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 7956 . . . . . 6  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 7417 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312addid2i 7604 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 7429 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 3846 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 182 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 631 . . . 4  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 mullt0 7937 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0 )  /\  ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0
) )  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918anidms 389 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  <  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 113 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  <  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2117, 20mtoi 625 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  -.  _i  <  0 )
22 mulgt0 7539 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i )  /\  ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i ) )  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) )
2322anidms 389 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  0  <  _i )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2423ex 113 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
0  <  _i  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2517, 24mtoi 625 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  -.  0  <  _i )
26 lttri3 7544 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( _i  =  0  <-> 
( -.  _i  <  0  /\  -.  0  < 
_i ) ) )
274, 26mpan2 416 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =  0  <->  ( -.  _i  <  0  /\ 
-.  0  <  _i ) ) )
2821, 25, 27mpbir2and 890 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
292, 28mto 623 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   _ici 7331    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501   -ucneg 7633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634  df-neg 7635
This theorem is referenced by:  rimul  8038
  Copyright terms: Public domain W3C validator