Theorem inelr 8731

Description: The imaginary unit _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	|- -. _i e. RR

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8540	. . 3 |- _i =/= 0
2	1	neii 2402	. 2 |- -. _i = 0
3		0lt1 8273	. . . . . 6 |- 0 < 1
4		0re 8146	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
5		1re 8145	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	4, 5	ltnsymi 8246	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
8		ixi 8730	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) = -u 1
9	5	renegcli 8408	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
10	8, 9	eqeltri 2302	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) e. RR
11	4, 10, 5	ltadd1i 8649	. . . . . 6 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
12		ax-1cn 8092	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12	addlidi 8289	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
14		ax-i2m1 8104	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
15	13, 14	breq12i 4092	. . . . . 6 |- ( ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) <-> 1 < 0 )
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> 1 < 0 )
17	7, 16	mtbir 675	. . . 4 |- -. 0 < ( _i x. _i )
18		mullt0 8627	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) /\ ( _i e. RR /\ _i < 0 ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
19	18	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( _i < 0 -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
21	17, 20	mtoi 668	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. _i < 0 )
22		mulgt0 8221	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) /\ ( _i e. RR /\ 0 < _i ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
23	22	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( 0 < _i -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
25	17, 24	mtoi 668	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. 0 < _i )
26		lttri3 8226	. . . 4 |- ( ( _i e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 |- ( _i e. RR -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
28	21, 25, 27	mpbir2and 950	. 2 |- ( _i e. RR -> _i = 0 )
29	2, 28	mto 666	1 |- -. _i e. RR

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   _ici 8001   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   -ucneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  rimul  8732