Theorem inelr 8657

Description: The imaginary unit _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	|- -. _i e. RR

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8466	. . 3 |- _i =/= 0
2	1	neii 2378	. 2 |- -. _i = 0
3		0lt1 8199	. . . . . 6 |- 0 < 1
4		0re 8072	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
5		1re 8071	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	4, 5	ltnsymi 8172	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
8		ixi 8656	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) = -u 1
9	5	renegcli 8334	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
10	8, 9	eqeltri 2278	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) e. RR
11	4, 10, 5	ltadd1i 8575	. . . . . 6 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
12		ax-1cn 8018	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12	addlidi 8215	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
14		ax-i2m1 8030	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
15	13, 14	breq12i 4053	. . . . . 6 |- ( ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) <-> 1 < 0 )
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> 1 < 0 )
17	7, 16	mtbir 673	. . . 4 |- -. 0 < ( _i x. _i )
18		mullt0 8553	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) /\ ( _i e. RR /\ _i < 0 ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
19	18	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( _i < 0 -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
21	17, 20	mtoi 666	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. _i < 0 )
22		mulgt0 8147	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) /\ ( _i e. RR /\ 0 < _i ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
23	22	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( 0 < _i -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
25	17, 24	mtoi 666	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. 0 < _i )
26		lttri3 8152	. . . 4 |- ( ( _i e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 |- ( _i e. RR -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
28	21, 25, 27	mpbir2and 947	. 2 |- ( _i e. RR -> _i = 0 )
29	2, 28	mto 664	1 |- -. _i e. RR

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   _ici 7927   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   -ucneg 8244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  rimul  8658