Theorem inelr 8823

Description: The imaginary unit _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	|- -. _i e. RR

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8632	. . 3 |- _i =/= 0
2	1	neii 2405	. 2 |- -. _i = 0
3		0lt1 8365	. . . . . 6 |- 0 < 1
4		0re 8239	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
5		1re 8238	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	4, 5	ltnsymi 8338	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
8		ixi 8822	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) = -u 1
9	5	renegcli 8500	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
10	8, 9	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) e. RR
11	4, 10, 5	ltadd1i 8741	. . . . . 6 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
12		ax-1cn 8185	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12	addlidi 8381	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
14		ax-i2m1 8197	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
15	13, 14	breq12i 4102	. . . . . 6 |- ( ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) <-> 1 < 0 )
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> 1 < 0 )
17	7, 16	mtbir 678	. . . 4 |- -. 0 < ( _i x. _i )
18		mullt0 8719	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) /\ ( _i e. RR /\ _i < 0 ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
19	18	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( _i < 0 -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
21	17, 20	mtoi 670	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. _i < 0 )
22		mulgt0 8313	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) /\ ( _i e. RR /\ 0 < _i ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
23	22	anidms 397	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( 0 < _i -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
25	17, 24	mtoi 670	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. 0 < _i )
26		lttri3 8318	. . . 4 |- ( ( _i e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 |- ( _i e. RR -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
28	21, 25, 27	mpbir2and 953	. 2 |- ( _i e. RR -> _i = 0 )
29	2, 28	mto 668	1 |- -. _i e. RR

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   -ucneg 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  rimul  8824