Theorem nnmord 6457

Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmordi 6456	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2	1	ex 114	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
3	2	com23 78	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
4	3	impd 252	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
5	4	3adant1 1000	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6		ne0i 3400	. . . . . . . 8 |- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) )
7		nnm0r 6419	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
8		oveq1 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) )
9	8	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2371	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) )
12	6, 11	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
13	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
14		nn0eln0 4577	. . . . . . 7 |- ( C e. om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
15	14	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
16	13, 15	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
17	16	3adant1 1000	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
18		oveq2 5826	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) )
20		nnmordi 6456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
21	20	3adantl2 1139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
22	19, 21	orim12d 776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
23	22	con3d 621	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
24		simpl3 987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
25		simpl1 985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
26		nnmcl 6421	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
28		simpl2 986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
29		nnmcl 6421	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
30	24, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
31		nntri2 6434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
33		nntri2 6434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
34	25, 28, 33	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
35	23, 32, 34	3imtr4d 202	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
36	35	ex 114	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) )
37	36	com23 78	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) )
38	17, 37	mpdd 41	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
39	38, 17	jcad 305	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
40	5, 39	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   (/)c0 3394   omcom 4547  (class class class)co 5818   .o comu 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-oadd 6361  df-omul 6362

This theorem is referenced by:  nnmword  6458  ltmpig  7242