Theorem nnmord 6518

Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmordi 6517	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2	1	ex 115	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
3	2	com23 78	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
4	3	impd 254	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
5	4	3adant1 1015	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6		ne0i 3430	. . . . . . . 8 |- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) )
7		nnm0r 6480	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
8		oveq1 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) )
9	8	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2391	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) )
12	6, 11	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
14		nn0eln0 4620	. . . . . . 7 |- ( C e. om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
17	16	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
18		oveq2 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) )
20		nnmordi 6517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
21	20	3adantl2 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
22	19, 21	orim12d 786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
23	22	con3d 631	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
24		simpl3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
25		simpl1 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
26		nnmcl 6482	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
28		simpl2 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
29		nnmcl 6482	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
31		nntri2 6495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
33		nntri2 6495	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
34	25, 28, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
35	23, 32, 34	3imtr4d 203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) )
37	36	com23 78	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) )
38	17, 37	mpdd 41	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
39	38, 17	jcad 307	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
40	5, 39	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3423   omcom 4590  (class class class)co 5875   .o comu 6415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422

This theorem is referenced by:  nnmword  6519  ltmpig  7338