ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmord Unicode version

Theorem nnmord 6266
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 6265 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
21ex 113 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
32com23 77 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
43impd 251 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
543adant1 961 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
6 ne0i 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  ( C  .o  B )  =/=  (/) )
7 nnm0r 6232 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
8 oveq1 5651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
98eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  (/)  ->  ( ( C  .o  B )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  B
)  =  (/) ) )
107, 9syl5ibrcom 155 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  (/) ) )
1110necon3d 2299 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  B
)  =/=  (/)  ->  C  =/=  (/) ) )
126, 11syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
1312adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
14 nn0eln0 4431 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  om  ->  ( (/) 
e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1514adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1613, 15sylibrd 167 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  (/)  e.  C ) )
17163adant1 961 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  (/) 
e.  C ) )
18 oveq2 5652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
) )
1918a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B ) ) )
20 nnmordi 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
21203adantl2 1100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2219, 21orim12d 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
2322con3d 596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
24 simpl3 948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
25 simpl1 946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
26 nnmcl 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
2724, 25, 26syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
28 simpl2 947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
29 nnmcl 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
3024, 28, 29syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
31 nntri2 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  om  /\  ( C  .o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
3227, 30, 31syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
)  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A
) ) ) )
33 nntri2 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
3425, 28, 33syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
3523, 32, 343imtr4d 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  ->  A  e.  B ) )
3635ex 113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/) 
e.  C  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
) )
3736com23 77 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( (/)  e.  C  ->  A  e.  B )
) )
3817, 37mpdd 40 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
)
3938, 17jcad 301 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C ) ) )
405, 39impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   (/)c0 3286   omcom 4403  (class class class)co 5644    .o comu 6171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-omul 6178
This theorem is referenced by:  nnmword  6267  ltmpig  6888
  Copyright terms: Public domain W3C validator