Theorem nnmord 6626

Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmordi 6625	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2	1	ex 115	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
3	2	com23 78	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
4	3	impd 254	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
5	4	3adant1 1018	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6		ne0i 3475	. . . . . . . 8 |- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) )
7		nnm0r 6588	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
8		oveq1 5974	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) )
9	8	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2422	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) )
12	6, 11	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
14		nn0eln0 4686	. . . . . . 7 |- ( C e. om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
17	16	3adant1 1018	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
18		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) )
20		nnmordi 6625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
21	20	3adantl2 1157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
22	19, 21	orim12d 788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
23	22	con3d 632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
24		simpl3 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
25		simpl1 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
26		nnmcl 6590	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
28		simpl2 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
29		nnmcl 6590	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
31		nntri2 6603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
33		nntri2 6603	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
34	25, 28, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
35	23, 32, 34	3imtr4d 203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) )
37	36	com23 78	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) )
38	17, 37	mpdd 41	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
39	38, 17	jcad 307	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
40	5, 39	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   omcom 4656  (class class class)co 5967   .o comu 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530

This theorem is referenced by:  nnmword  6627  ltmpig  7487