Theorem nnmord 6575

Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmordi 6574	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2	1	ex 115	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
3	2	com23 78	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
4	3	impd 254	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
5	4	3adant1 1017	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6		ne0i 3457	. . . . . . . 8 |- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) )
7		nnm0r 6537	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
8		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) )
9	8	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2411	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) )
12	6, 11	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
14		nn0eln0 4656	. . . . . . 7 |- ( C e. om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
17	16	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
18		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) )
20		nnmordi 6574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
21	20	3adantl2 1156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
22	19, 21	orim12d 787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
23	22	con3d 632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
24		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
25		simpl1 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
26		nnmcl 6539	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
28		simpl2 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
29		nnmcl 6539	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
31		nntri2 6552	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
33		nntri2 6552	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
34	25, 28, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
35	23, 32, 34	3imtr4d 203	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) )
37	36	com23 78	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) )
38	17, 37	mpdd 41	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
39	38, 17	jcad 307	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
40	5, 39	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   (/)c0 3450   omcom 4626  (class class class)co 5922   .o comu 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479

This theorem is referenced by:  nnmword  6576  ltmpig  7406