ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaord Unicode version

Theorem nnaord 6405
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaord
StepHypRef Expression
1 nnaordi 6404 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
213adant1 999 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
3 oveq2 5782 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
) )
43a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B ) ) )
5 nnaordi 6404 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
653adant2 1000 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
74, 6orim12d 775 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  =  B  \/  B  e.  A
)  ->  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
)  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) ) )
87con3d 620 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
9 df-3an 964 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) )
10 ancom 264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) 
<->  ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )
11 anandi 579 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
129, 10, 113bitri 205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
13 nnacl 6376 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
14 nnacl 6376 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
1513, 14anim12i 336 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( C  +o  A )  e. 
om  /\  ( C  +o  B )  e.  om ) )
1612, 15sylbi 120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  om  /\  ( C  +o  B
)  e.  om )
)
17 nntri2 6390 . . . 4  |-  ( ( ( C  +o  A
)  e.  om  /\  ( C  +o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  (
( C  +o  A
)  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
19 nntri2 6390 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
20193adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
218, 18, 203imtr4d 202 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  ->  A  e.  B )
)
222, 21impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   omcom 4504  (class class class)co 5774    +o coa 6310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317
This theorem is referenced by:  nnaordr  6406  nnaordex  6423  ltapig  7153  1lt2pi  7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator