Theorem nnaord 6618

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 6617	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
2	1	3adant1 1018	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
3		oveq2 5975	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) ) )
5		nnaordi 6617	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
6	5	3adant2 1019	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
7	4, 6	orim12d 788	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
8	7	con3d 632	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
9		df-3an 983	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) )
10		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) )
11		anandi 590	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
12	9, 10, 11	3bitri 206	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
13		nnacl 6589	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C +o A ) e. om )
14		nnacl 6589	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C +o B ) e. om )
15	13, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
16	12, 15	sylbi 121	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
17		nntri2 6603	. . . 4 |- ( ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
19		nntri2 6603	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
20	19	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
21	8, 18, 20	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) -> A e. B ) )
22	2, 21	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   omcom 4656  (class class class)co 5967   +o coa 6522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529

This theorem is referenced by:  nnaordr  6619  nnaordex  6637  ltapig  7486  1lt2pi  7488