Theorem nnaord 6486

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 6485	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
2	1	3adant1 1010	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
3		oveq2 5859	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) ) )
5		nnaordi 6485	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
6	5	3adant2 1011	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
7	4, 6	orim12d 781	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
8	7	con3d 626	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
9		df-3an 975	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) )
10		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) )
11		anandi 585	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
12	9, 10, 11	3bitri 205	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
13		nnacl 6457	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C +o A ) e. om )
14		nnacl 6457	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C +o B ) e. om )
15	13, 14	anim12i 336	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
16	12, 15	sylbi 120	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
17		nntri2 6471	. . . 4 |- ( ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
19		nntri2 6471	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
20	19	3adant3 1012	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
21	8, 18, 20	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) -> A e. B ) )
22	2, 21	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   omcom 4572  (class class class)co 5851   +o coa 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397

This theorem is referenced by:  nnaordr  6487  nnaordex  6505  ltapig  7293  1lt2pi  7295