Theorem nnaord 6282

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 6281	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
2	1	3adant1 962	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
3		oveq2 5674	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) ) )
5		nnaordi 6281	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
6	5	3adant2 963	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
7	4, 6	orim12d 736	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
8	7	con3d 597	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
9		df-3an 927	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) )
10		ancom 263	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) )
11		anandi 558	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
12	9, 10, 11	3bitri 205	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
13		nnacl 6255	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C +o A ) e. om )
14		nnacl 6255	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C +o B ) e. om )
15	13, 14	anim12i 332	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
16	12, 15	sylbi 120	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) )
17		nntri2 6269	. . . 4 |- ( ( ( C +o A ) e. om /\ ( C +o B ) e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
19		nntri2 6269	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
20	19	3adant3 964	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
21	8, 18, 20	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) -> A e. B ) )
22	2, 21	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 665   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   omcom 4418  (class class class)co 5666   +o coa 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199

This theorem is referenced by:  nnaordr  6283  nnaordex  6300  ltapig  6958  1lt2pi  6960