Theorem nnsucuniel 6706

Description: Given an element A of the union of a natural number B, suc A is an element of B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4614). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4635). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucuniel	|- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3500	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
2		uni0 3925	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
3	2	eleq2i 2298	. . . . . . 7 |- ( A e. U. (/) <-> A e. (/) )
4	1, 3	mtbir 678	. . . . . 6 |- -. A e. U. (/)
5		unieq 3907	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> U. B = U. (/) )
6	5	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B <-> A e. U. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 682	. . . . 5 |- ( B = (/) -> -. A e. U. B )
8	7	pm2.21d 624	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. om /\ B = (/) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
10		unieq 3907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = suc n -> U. B = U. suc n )
11	10	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = suc n -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
12	11	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. U. suc n )
14		simplrl 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> n e. om )
15		nnord 4716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordtr 4481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord n -> Tr n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Tr n )
18		vex 2806	. . . . . . . . . . . . 13 |- n e. _V
19	18	unisuc 4516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr n <-> U. suc n = n )
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. suc n = n )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> U. suc n = n )
22	21	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. U. suc n <-> A e. n ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. n )
24		nnsucelsuc 6702	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
25	14, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. suc n )
27		simplrr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> B = suc n )
28	26, 27	eleqtrrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. B )
29	28	ex 115	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
30	29	rexlimdvaa 2652	. . . 4 |- ( B e. om -> ( E. n e. om B = suc n -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) ) )
31	30	imp 124	. . 3 |- ( ( B e. om /\ E. n e. om B = suc n ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
32		nn0suc 4708	. . 3 |- ( B e. om -> ( B = (/) \/ E. n e. om B = suc n ) )
33	9, 31, 32	mpjaodan 806	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
34		sucunielr 4614	. 2 |- ( suc A e. B -> A e. U. B )
35	33, 34	impbid1 142	1 |- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   (/)c0 3496   U.cuni 3898   Tr wtr 4192   Ord word 4465   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

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