Theorem nnsucuniel 6443

Description: Given an element A of the union of a natural number B, suc A is an element of B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4470). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4491). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucuniel	|- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3398	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
2		uni0 3800	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
3	2	eleq2i 2224	. . . . . . 7 |- ( A e. U. (/) <-> A e. (/) )
4	1, 3	mtbir 661	. . . . . 6 |- -. A e. U. (/)
5		unieq 3782	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> U. B = U. (/) )
6	5	eleq2d 2227	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B <-> A e. U. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 665	. . . . 5 |- ( B = (/) -> -. A e. U. B )
8	7	pm2.21d 609	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( B e. om /\ B = (/) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
10		unieq 3782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = suc n -> U. B = U. suc n )
11	10	eleq2d 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = suc n -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
12	11	ad2antll 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
13	12	biimpa 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. U. suc n )
14		simplrl 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> n e. om )
15		nnord 4572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordtr 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord n -> Tr n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Tr n )
18		vex 2715	. . . . . . . . . . . . 13 |- n e. _V
19	18	unisuc 4374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr n <-> U. suc n = n )
20	17, 19	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. suc n = n )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> U. suc n = n )
22	21	eleq2d 2227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. U. suc n <-> A e. n ) )
23	13, 22	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. n )
24		nnsucelsuc 6439	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
25	14, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
26	23, 25	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. suc n )
27		simplrr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> B = suc n )
28	26, 27	eleqtrrd 2237	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. B )
29	28	ex 114	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
30	29	rexlimdvaa 2575	. . . 4 |- ( B e. om -> ( E. n e. om B = suc n -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) ) )
31	30	imp 123	. . 3 |- ( ( B e. om /\ E. n e. om B = suc n ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
32		nn0suc 4564	. . 3 |- ( B e. om -> ( B = (/) \/ E. n e. om B = suc n ) )
33	9, 31, 32	mpjaodan 788	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
34		sucunielr 4470	. 2 |- ( suc A e. B -> A e. U. B )
35	33, 34	impbid1 141	1 |- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   (/)c0 3394   U.cuni 3773   Tr wtr 4063   Ord word 4323   suc csuc 4326   omcom 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551

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