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Theorem nnsucuniel 6443
Description: Given an element  A of the union of a natural number  B,  suc  A is an element of  B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4470). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4491). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnsucuniel  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3398 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  (/)
2 uni0 3800 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
32eleq2i 2224 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 661 . . . . . 6  |-  -.  A  e.  U. (/)
5 unieq 3782 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  U. B  =  U. (/) )
65eleq2d 2227 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U. (/) ) )
74, 6mtbiri 665 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  e.  U. B )
87pm2.21d 609 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
10 unieq 3782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  suc  n  ->  U. B  =  U. suc  n )
1110eleq2d 2227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B 
<->  A  e.  U. suc  n ) )
1211ad2antll 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U.
suc  n ) )
1312biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  U. suc  n
)
14 simplrl 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  n  e.  om )
15 nnord 4572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
16 ordtr 4339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  n  ->  Tr  n
)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  Tr  n )
18 vex 2715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  n  e. 
_V
1918unisuc 4374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  n  <->  U. suc  n  =  n )
2017, 19sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  U. suc  n  =  n )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  U. suc  n  =  n )
2221eleq2d 2227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  U. suc  n  <->  A  e.  n
) )
2313, 22mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  n )
24 nnsucelsuc 6439 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  n  <->  suc  A  e. 
suc  n ) )
2514, 24syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  n  <->  suc 
A  e.  suc  n
) )
2623, 25mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  suc  n
)
27 simplrr 526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  B  =  suc  n )
2826, 27eleqtrrd 2237 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  B )
2928ex 114 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
3029rexlimdvaa 2575 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( E. n  e.  om  B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) ) )
3130imp 123 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  E. n  e.  om  B  =  suc  n )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
32 nn0suc 4564 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  =  (/)  \/  E. n  e.  om  B  =  suc  n ) )
339, 31, 32mpjaodan 788 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
34 sucunielr 4470 . 2  |-  ( suc 
A  e.  B  ->  A  e.  U. B )
3533, 34impbid1 141 1  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   E.wrex 2436   (/)c0 3394   U.cuni 3773   Tr wtr 4063   Ord word 4323   suc csuc 4326   omcom 4550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551
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