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Theorem nnsucuniel 6238
Description: Given an element  A of the union of a natural number  B,  suc  A is an element of  B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4317). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4337). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnsucuniel  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3288 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  (/)
2 uni0 3675 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
32eleq2i 2154 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 631 . . . . . 6  |-  -.  A  e.  U. (/)
5 unieq 3657 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  U. B  =  U. (/) )
65eleq2d 2157 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U. (/) ) )
74, 6mtbiri 635 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  e.  U. B )
87pm2.21d 584 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
98adantl 271 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
10 unieq 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  suc  n  ->  U. B  =  U. suc  n )
1110eleq2d 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B 
<->  A  e.  U. suc  n ) )
1211ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U.
suc  n ) )
1312biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  U. suc  n
)
14 simplrl 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  n  e.  om )
15 nnord 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
16 ordtr 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  n  ->  Tr  n
)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  Tr  n )
18 vex 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  n  e. 
_V
1918unisuc 4231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  n  <->  U. suc  n  =  n )
2017, 19sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  U. suc  n  =  n )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  U. suc  n  =  n )
2221eleq2d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  U. suc  n  <->  A  e.  n
) )
2313, 22mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  n )
24 nnsucelsuc 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  n  <->  suc  A  e. 
suc  n ) )
2514, 24syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  n  <->  suc 
A  e.  suc  n
) )
2623, 25mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  suc  n
)
27 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  B  =  suc  n )
2826, 27eleqtrrd 2167 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  B )
2928ex 113 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
3029rexlimdvaa 2490 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( E. n  e.  om  B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) ) )
3130imp 122 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  E. n  e.  om  B  =  suc  n )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
32 nn0suc 4409 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  =  (/)  \/  E. n  e.  om  B  =  suc  n ) )
339, 31, 32mpjaodan 747 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
34 sucunielr 4317 . 2  |-  ( suc 
A  e.  B  ->  A  e.  U. B )
3533, 34impbid1 140 1  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   (/)c0 3284   U.cuni 3648   Tr wtr 3928   Ord word 4180   suc csuc 4183   omcom 4395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396
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