Theorem nnsucuniel 6510

Description: Given an element A of the union of a natural number B, suc A is an element of B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4521). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4542). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucuniel	|- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3438	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
2		uni0 3848	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
3	2	eleq2i 2254	. . . . . . 7 |- ( A e. U. (/) <-> A e. (/) )
4	1, 3	mtbir 672	. . . . . 6 |- -. A e. U. (/)
5		unieq 3830	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> U. B = U. (/) )
6	5	eleq2d 2257	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B <-> A e. U. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 676	. . . . 5 |- ( B = (/) -> -. A e. U. B )
8	7	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. om /\ B = (/) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
10		unieq 3830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = suc n -> U. B = U. suc n )
11	10	eleq2d 2257	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = suc n -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
12	11	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. U. suc n )
14		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> n e. om )
15		nnord 4623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordtr 4390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord n -> Tr n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Tr n )
18		vex 2752	. . . . . . . . . . . . 13 |- n e. _V
19	18	unisuc 4425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr n <-> U. suc n = n )
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. suc n = n )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> U. suc n = n )
22	21	eleq2d 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. U. suc n <-> A e. n ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. n )
24		nnsucelsuc 6506	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
25	14, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. suc n )
27		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> B = suc n )
28	26, 27	eleqtrrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. B )
29	28	ex 115	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
30	29	rexlimdvaa 2605	. . . 4 |- ( B e. om -> ( E. n e. om B = suc n -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) ) )
31	30	imp 124	. . 3 |- ( ( B e. om /\ E. n e. om B = suc n ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
32		nn0suc 4615	. . 3 |- ( B e. om -> ( B = (/) \/ E. n e. om B = suc n ) )
33	9, 31, 32	mpjaodan 799	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
34		sucunielr 4521	. 2 |- ( suc A e. B -> A e. U. B )
35	33, 34	impbid1 142	1 |- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   (/)c0 3434   U.cuni 3821   Tr wtr 4113   Ord word 4374   suc csuc 4377   omcom 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-tr 4114  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602

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