ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2 GIF version

Theorem nntri2 6295
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem nntri2
StepHypRef Expression
1 elirr 4385 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
2 eleq2 2158 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
31, 2mtbii 637 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
43con2i 595 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5 en2lp 4398 . . . 4 ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65imnani 663 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
7 ioran 707 . . 3 (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
84, 6, 7sylanbrc 409 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
9 nntri3or 6294 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
10 3orass 930 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐴𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
119, 10sylib 121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
1211orcomd 686 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴𝐵))
1312ord 681 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
148, 13impbid2 142 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  w3o 926   = wceq 1296  wcel 1445  ωcom 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-uni 3676  df-int 3711  df-tr 3959  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434
This theorem is referenced by:  nnaord  6308  nnmord  6316  pitric  6977
  Copyright terms: Public domain W3C validator