ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2 GIF version

Theorem nntri2 6454
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem nntri2
StepHypRef Expression
1 elirr 4513 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
2 eleq2 2228 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
31, 2mtbii 664 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
43con2i 617 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5 en2lp 4526 . . . 4 ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65imnani 681 . . 3 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
7 ioran 742 . . 3 (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
84, 6, 7sylanbrc 414 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
9 nntri3or 6453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
10 3orass 970 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐴𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
119, 10sylib 121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
1211orcomd 719 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ∨ 𝐴𝐵))
1312ord 714 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
148, 13impbid2 142 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3o 966   = wceq 1342  wcel 2135  ωcom 4562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2724  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-uni 3785  df-int 3820  df-tr 4076  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563
This theorem is referenced by:  nnaord  6469  nnmord  6477  pitric  7254
  Copyright terms: Public domain W3C validator