Theorem nntri2 6547

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4573	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 675	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5		en2lp 4586	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	5	imnani 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nntri3or 6546	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		3orass 983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
12	11	orcomd 730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	12	ord 725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐵))
14	8, 13	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  nnaord  6562  nnmord  6570  pitric  7381