Theorem nntri2 6513

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4555	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 675	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5		en2lp 4568	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)
6	5	imnani 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nntri3or 6512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		3orass 983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
12	11	orcomd 730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	12	ord 725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐵))
14	8, 13	impbid2 143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ωcom 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605

This theorem is referenced by:  nnaord  6528  nnmord  6536  pitric  7338