Theorem opnneiid 12804

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 12789	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
2		eqss 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
3		eleq1a 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑁 = 𝑥 → 𝑁 ∈ 𝐽))
4	2, 3	syl5bir 152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → ((𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
5	4	rexlimiv 2577	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽)
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝐽)
7	6	ex 114	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
8		ssid 3162	. . 3 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
9		opnneiss 12798	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
10	9	3exp 1192	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑁 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
11	8, 10	mpii 44	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
12	7, 11	impbid 128	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116  ‘cfv 5188  Topctop 12635  neicnei 12778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-top 12636  df-nei 12779

This theorem is referenced by:  0nei  12806