Theorem opnneiid 14141

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 14126	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
2		eqss 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁))
3		eleq1a 2261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑁 = 𝑥 → 𝑁 ∈ 𝐽))
4	2, 3	biimtrrid 153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → ((𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
5	4	rexlimiv 2601	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑁 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽)
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝐽)
7	6	ex 115	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁 ∈ 𝐽))
8		ssid 3190	. . 3 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
9		opnneiss 14135	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
10	9	3exp 1204	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑁 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
11	8, 10	mpii 44	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
12	7, 11	impbid 129	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5235  Topctop 13974  neicnei 14115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-top 13975  df-nei 14116

This theorem is referenced by:  0nei  14143