Theorem pnfnemnf 8276

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8274	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4256	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2488	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8259	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2432	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  𝒫 cpw 3656  +∞cpnf 8253  -∞cmnf 8254  ℝ^*cxr 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8277  xnn0nemnf  9520  xrnemnf  10056  xrltnr  10058  pnfnlt  10066  nltmnf  10067  ngtmnft  10096  xrmnfdc  10122  xaddpnf1  10125  xaddnemnf  10136  xposdif  10161  xleaddadd  10166