Theorem pnfnemnf 8081

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8079	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4193	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2452	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8064	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2396	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  𝒫 cpw 3605  +∞cpnf 8058  -∞cmnf 8059  ℝ^*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-un 4468  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8082  xnn0nemnf  9323  xrnemnf  9852  xrltnr  9854  pnfnlt  9862  nltmnf  9863  ngtmnft  9892  xrmnfdc  9918  xaddpnf1  9921  xaddnemnf  9932  xposdif  9957  xleaddadd  9962