Theorem pnfnemnf 8212

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8210	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4244	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2485	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8195	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2429	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  𝒫 cpw 3649  +∞cpnf 8189  -∞cmnf 8190  ℝ^*cxr 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-un 4524  ax-cnex 8101

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8213  xnn0nemnf  9454  xrnemnf  9985  xrltnr  9987  pnfnlt  9995  nltmnf  9996  ngtmnft  10025  xrmnfdc  10051  xaddpnf1  10054  xaddnemnf  10065  xposdif  10090  xleaddadd  10095