Theorem pnfnemnf 8162

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8160	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4220	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2463	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8145	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2407	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  𝒫 cpw 3626  +∞cpnf 8139  -∞cmnf 8140  ℝ^*cxr 8141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-un 4498  ax-cnex 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8163  xnn0nemnf  9404  xrnemnf  9934  xrltnr  9936  pnfnlt  9944  nltmnf  9945  ngtmnft  9974  xrmnfdc  10000  xaddpnf1  10003  xaddnemnf  10014  xposdif  10039  xleaddadd  10044