Theorem pnfnemnf 8328

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8326	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4273	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2497	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8311	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2441	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  𝒫 cpw 3669  +∞cpnf 8305  -∞cmnf 8306  ℝ^*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-un 4554  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8329  xnn0nemnf  9574  xrnemnf  10110  xrltnr  10112  pnfnlt  10120  nltmnf  10121  ngtmnft  10150  xrmnfdc  10176  xaddpnf1  10179  xaddnemnf  10190  xposdif  10215  xleaddadd  10220