Theorem pnfnemnf 8224

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8222	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4248	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2485	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8207	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2429	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  𝒫 cpw 3650  +∞cpnf 8201  -∞cmnf 8202  ℝ^*cxr 8203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-un 4528  ax-cnex 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8225  xnn0nemnf  9466  xrnemnf  10002  xrltnr  10004  pnfnlt  10012  nltmnf  10013  ngtmnft  10042  xrmnfdc  10068  xaddpnf1  10071  xaddnemnf  10082  xposdif  10107  xleaddadd  10112