Theorem pnfnemnf 7738

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7736	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4042	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2365	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7721	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2309	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 1461   ≠ wne 2280  𝒫 cpw 3474  +∞cpnf 7715  -∞cmnf 7716  ℝ^*cxr 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-un 4313  ax-cnex 7630

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-uni 3701  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7739  xnn0nemnf  8949  xrnemnf  9451  xrltnr  9453  pnfnlt  9460  nltmnf  9461  ngtmnft  9487  xrmnfdc  9513  xaddpnf1  9516  xaddnemnf  9527  xposdif  9552  xleaddadd  9557