Theorem pnfnemnf 8074

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8072	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4189	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2449	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8057	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2393	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  𝒫 cpw 3601  +∞cpnf 8051  -∞cmnf 8052  ℝ^*cxr 8053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-un 4464  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8075  xnn0nemnf  9314  xrnemnf  9843  xrltnr  9845  pnfnlt  9853  nltmnf  9854  ngtmnft  9883  xrmnfdc  9909  xaddpnf1  9912  xaddnemnf  9923  xposdif  9948  xleaddadd  9953