Theorem pnfnemnf 7986

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7984	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4155	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2430	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7969	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2374	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345  𝒫 cpw 3572  +∞cpnf 7963  -∞cmnf 7964  ℝ^*cxr 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-un 4427  ax-cnex 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-uni 3806  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7987  xnn0nemnf  9223  xrnemnf  9748  xrltnr  9750  pnfnlt  9758  nltmnf  9759  ngtmnft  9788  xrmnfdc  9814  xaddpnf1  9817  xaddnemnf  9828  xposdif  9853  xleaddadd  9858