Theorem pnfnemnf 8015

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8013	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4162	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2432	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7998	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2376	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  𝒫 cpw 3577  +∞cpnf 7992  -∞cmnf 7993  ℝ^*cxr 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435  ax-cnex 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8016  xnn0nemnf  9253  xrnemnf  9780  xrltnr  9782  pnfnlt  9790  nltmnf  9791  ngtmnft  9820  xrmnfdc  9846  xaddpnf1  9849  xaddnemnf  9860  xposdif  9885  xleaddadd  9890