Theorem pnfnemnf 7974

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7972	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4146	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2425	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7957	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2369	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  𝒫 cpw 3566  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7975  xnn0nemnf  9209  xrnemnf  9734  xrltnr  9736  pnfnlt  9744  nltmnf  9745  ngtmnft  9774  xrmnfdc  9800  xaddpnf1  9803  xaddnemnf  9814  xposdif  9839  xleaddadd  9844