Theorem pnfnemnf 8344

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8342	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4278	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2499	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8327	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2443	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  𝒫 cpw 3674  +∞cpnf 8321  -∞cmnf 8322  ℝ^*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-un 4559  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8345  xnn0nemnf  9591  xrnemnf  10129  xrltnr  10131  pnfnlt  10139  nltmnf  10140  ngtmnft  10169  xrmnfdc  10195  xaddpnf1  10198  xaddnemnf  10209  xposdif  10234  xleaddadd  10239