Theorem pnfnemnf 8234

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8232	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4250	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2487	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8217	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2431	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  𝒫 cpw 3652  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8235  xnn0nemnf  9476  xrnemnf  10012  xrltnr  10014  pnfnlt  10022  nltmnf  10023  ngtmnft  10052  xrmnfdc  10078  xaddpnf1  10081  xaddnemnf  10092  xposdif  10117  xleaddadd  10122