Theorem pnfnemnf 8127

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8125	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4204	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2461	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8110	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2405	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  𝒫 cpw 3616  +∞cpnf 8104  -∞cmnf 8105  ℝ^*cxr 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-un 4480  ax-cnex 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8128  xnn0nemnf  9369  xrnemnf  9899  xrltnr  9901  pnfnlt  9909  nltmnf  9910  ngtmnft  9939  xrmnfdc  9965  xaddpnf1  9968  xaddnemnf  9979  xposdif  10004  xleaddadd  10009