Theorem pnfnemnf 8053

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8051	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4185	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2445	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8036	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2389	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  𝒫 cpw 3597  +∞cpnf 8030  -∞cmnf 8031  ℝ^*cxr 8032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-un 4458  ax-cnex 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-uni 3832  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8054  xnn0nemnf  9291  xrnemnf  9819  xrltnr  9821  pnfnlt  9829  nltmnf  9830  ngtmnft  9859  xrmnfdc  9885  xaddpnf1  9888  xaddnemnf  9899  xposdif  9924  xleaddadd  9929