Theorem pnfnemnf 8386

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8384	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4299	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2505	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 8369	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2449	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  𝒫 cpw 3688  +∞cpnf 8363  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370

This theorem is used by:  mnfnepnf  8387  xnn0nemnf  9652  xrnemnf  10196  xrltnr  10198  pnfnlt  10206  nltmnf  10207  ngtmnft  10236  xrmnfdc  10262  xaddpnf1  10265  xaddnemnf  10276  xposdif  10301  xleaddadd  10306