Theorem psrbagf 14156

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	|- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2	1	eleq2i 2260	. 2 |- ( F e. D <-> F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
3		elrabi 2913	. . 3 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F e. ( NN0 ^m I ) )
4		elmapi 6724	. . 3 |- ( F e. ( NN0 ^m I ) -> F : I --> NN0 )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F : I --> NN0 )
6	2, 5	sylbi 121	1 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   `'ccnv 4658   "cima 4662   -->wf 5250  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702   Fincfn 6794   NNcn 8982   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704

This theorem is referenced by: (None)