Theorem psrbagf 14300

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	|- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2	1	eleq2i 2263	. 2 |- ( F e. D <-> F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
3		elrabi 2917	. . 3 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F e. ( NN0 ^m I ) )
4		elmapi 6738	. . 3 |- ( F e. ( NN0 ^m I ) -> F : I --> NN0 )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F : I --> NN0 )
6	2, 5	sylbi 121	1 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   `'ccnv 4663   "cima 4667   -->wf 5255  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   Fincfn 6808   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718

This theorem is referenced by: (None)