Theorem psrbagf 14766

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	|- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( F e. D <-> F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
3		elrabi 2960	. . 3 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F e. ( NN0 ^m I ) )
4		elmapi 6882	. . 3 |- ( F e. ( NN0 ^m I ) -> F : I --> NN0 )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F : I --> NN0 )
6	2, 5	sylbi 121	1 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   `'ccnv 4730   "cima 4734   -->wf 5329  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862

This theorem is referenced by:  psrbaglesupp  14769  psrbaglecl  14771  psrbagcon  14772  psrbagconcl  14773  psrbagconf1o  14774