Theorem psrbagf 14683

Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 30-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagf	|- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( F e. D <-> F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
3		elrabi 2959	. . 3 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F e. ( NN0 ^m I ) )
4		elmapi 6838	. . 3 |- ( F e. ( NN0 ^m I ) -> F : I --> NN0 )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( F e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } -> F : I --> NN0 )
6	2, 5	sylbi 121	1 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816   Fincfn 6908   NNcn 9142   NN0cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818

This theorem is referenced by: (None)