Theorem psrbag 14633

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbag	|- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4896	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
2	1	imaeq1d 5067	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f " NN ) = ( `' F " NN ) )
3	2	eleq1d 2298	. . 3 |- ( f = F -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
4		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	3, 4	elrab2 2962	. 2 |- ( F e. D <-> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
6		nn0ex 9375	. . . 4 |- NN0 e. _V
7		elmapg 6808	. . . 4 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( I e. V -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( I e. V -> ( ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	5, 9	bitrid 192	1 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   `'ccnv 4718   "cima 4722   -->wf 5314  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   Fincfn 6887   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-i2m1 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-map 6797  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14635  psrbaglesuppg  14636