Theorem psrbag 15053

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbag	|- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4954	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
2	1	imaeq1d 5125	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f " NN ) = ( `' F " NN ) )
3	2	eleq1d 2307	. . 3 |- ( f = F -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
4		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	3, 4	elrab2 2985	. 2 |- ( F e. D <-> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
6		nn0ex 9569	. . . 4 |- NN0 e. _V
7		elmapg 6935	. . . 4 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
8	6, 7	mpan 428	. . 3 |- ( I e. V -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
9	8	anbi1d 469	. 2 |- ( I e. V -> ( ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	5, 9	bitrid 192	1 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   `'ccnv 4773   "cima 4777   -->wf 5373  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   NNcn 9304   NN0cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  psrbagfsupp  15055  fczpsrbag  15056  psrbaglesuppg  15057  psrbaglecl  15060  psrbagcon  15062