Theorem psrbag 14155

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbag	|- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4836	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
2	1	imaeq1d 5004	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f " NN ) = ( `' F " NN ) )
3	2	eleq1d 2262	. . 3 |- ( f = F -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
4		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	3, 4	elrab2 2919	. 2 |- ( F e. D <-> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
6		nn0ex 9246	. . . 4 |- NN0 e. _V
7		elmapg 6715	. . . 4 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( I e. V -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( I e. V -> ( ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	5, 9	bitrid 192	1 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   `'ccnv 4658   "cima 4662   -->wf 5250  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702   Fincfn 6794   NNcn 8982   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-i2m1 7977

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14157  psrbaglesuppg  14158