Theorem psrbag 14431

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbag	|- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4852	. . . . 5 |- ( f = F -> `' f = `' F )
2	1	imaeq1d 5021	. . . 4 |- ( f = F -> ( `' f " NN ) = ( `' F " NN ) )
3	2	eleq1d 2274	. . 3 |- ( f = F -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
4		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	3, 4	elrab2 2932	. 2 |- ( F e. D <-> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
6		nn0ex 9301	. . . 4 |- NN0 e. _V
7		elmapg 6748	. . . 4 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( I e. V -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
9	8	anbi1d 465	. 2 |- ( I e. V -> ( ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	5, 9	bitrid 192	1 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   _Vcvv 2772   `'ccnv 4674   "cima 4678   -->wf 5267  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735   Fincfn 6827   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-map 6737  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14433  psrbaglesuppg  14434