Theorem fczpsrbag 14301

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   x, V

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( f)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9281	. . . 4 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ x e. I ) -> 0 e. NN0 )
3	2	fmpttd 5720	. 2 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> 0 ) = ( x e. I |-> 0 )
5	4	mptpreima 5164	. . . . 5 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = { x e. I | 0 e. NN }
6		0nnn 9034	. . . . . . 7 |- -. 0 e. NN
7	6	rgenw 2552	. . . . . 6 |- A. x e. I -. 0 e. NN
8		rabeq0 3481	. . . . . 6 |- ( { x e. I | 0 e. NN } = (/) <-> A. x e. I -. 0 e. NN )
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 |- { x e. I | 0 e. NN } = (/)
10	5, 9	eqtri 2217	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = (/)
11		0fin 6954	. . . 4 |- (/) e. Fin
12	10, 11	eqeltri 2269	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin
13	12	a1i 9	. 2 |- ( I e. V -> ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin )
14		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
15	14	psrbag 14299	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> 0 ) e. D <-> ( ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin ) ) )
16	3, 13, 15	mpbir2and 946	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   (/)c0 3451   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   "cima 4667   -->wf 5255  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   Fincfn 6808   0cc0 7896   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by: (None)