Theorem fczpsrbag 14812

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   x, V

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( f)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9510	. . . 4 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ x e. I ) -> 0 e. NN0 )
3	2	fmpttd 5831	. 2 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
4		eqid 2232	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> 0 ) = ( x e. I |-> 0 )
5	4	mptpreima 5255	. . . . 5 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = { x e. I | 0 e. NN }
6		0nnn 9263	. . . . . . 7 |- -. 0 e. NN
7	6	rgenw 2597	. . . . . 6 |- A. x e. I -. 0 e. NN
8		rabeq0 3537	. . . . . 6 |- ( { x e. I | 0 e. NN } = (/) <-> A. x e. I -. 0 e. NN )
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 |- { x e. I | 0 e. NN } = (/)
10	5, 9	eqtri 2253	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = (/)
11		0fi 7140	. . . 4 |- (/) e. Fin
12	10, 11	eqeltri 2305	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin
13	12	a1i 9	. 2 |- ( I e. V -> ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin )
14		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
15	14	psrbag 14809	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> 0 ) e. D <-> ( ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin ) ) )
16	3, 13, 15	mpbir2and 953	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   (/)c0 3507   |-> cmpt 4170   `'ccnv 4747   "cima 4751   -->wf 5347  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   0cc0 8126   NNcn 9236   NN0cn0 9495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-inn 9237  df-n0 9496

This theorem is referenced by: (None)