Theorem fczpsrbag 14747

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   x, V

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( f)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9460	. . . 4 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ x e. I ) -> 0 e. NN0 )
3	2	fmpttd 5810	. 2 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
4		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> 0 ) = ( x e. I |-> 0 )
5	4	mptpreima 5237	. . . . 5 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = { x e. I | 0 e. NN }
6		0nnn 9213	. . . . . . 7 |- -. 0 e. NN
7	6	rgenw 2588	. . . . . 6 |- A. x e. I -. 0 e. NN
8		rabeq0 3526	. . . . . 6 |- ( { x e. I | 0 e. NN } = (/) <-> A. x e. I -. 0 e. NN )
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 |- { x e. I | 0 e. NN } = (/)
10	5, 9	eqtri 2252	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = (/)
11		0fi 7116	. . . 4 |- (/) e. Fin
12	10, 11	eqeltri 2304	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin
13	12	a1i 9	. 2 |- ( I e. V -> ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin )
14		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
15	14	psrbag 14745	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> 0 ) e. D <-> ( ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin ) ) )
16	3, 13, 15	mpbir2and 953	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   (/)c0 3496   |-> cmpt 4155   `'ccnv 4730   "cima 4734   -->wf 5329  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   0cc0 8075   NNcn 9186   NN0cn0 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-inn 9187  df-n0 9446

This theorem is referenced by: (None)