Theorem fczpsrbag 15171

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   x, V

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( f)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9590	. . . 4 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ x e. I ) -> 0 e. NN0 )
3	2	fmpttd 5866	. 2 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
4		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> 0 ) = ( x e. I |-> 0 )
5	4	mptpreima 5284	. . . . 5 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = { x e. I | 0 e. NN }
6		0nnn 9341	. . . . . . 7 |- -. 0 e. NN
7	6	rgenw 2605	. . . . . 6 |- A. x e. I -. 0 e. NN
8		rabeq0 3552	. . . . . 6 |- ( { x e. I | 0 e. NN } = (/) <-> A. x e. I -. 0 e. NN )
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 |- { x e. I | 0 e. NN } = (/)
10	5, 9	eqtri 2259	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = (/)
11		0fi 7193	. . . 4 |- (/) e. Fin
12	10, 11	eqeltri 2311	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin
13	12	a1i 9	. 2 |- ( I e. V -> ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin )
14		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
15	14	psrbag 15165	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> 0 ) e. D <-> ( ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin ) ) )
16	3, 13, 15	mpbir2and 957	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   (/)c0 3520   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   0cc0 8186   NNcn 9314   NN0cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6928  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-inn 9315  df-n0 9576

This theorem is used by:  psrlidmfi  15204  psrridmfi  15205