Theorem fczpsrbag 14951

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   x, V

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( f)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9532	. . . 4 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( I e. V /\ x e. I ) -> 0 e. NN0 )
3	2	fmpttd 5838	. 2 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
4		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> 0 ) = ( x e. I |-> 0 )
5	4	mptpreima 5262	. . . . 5 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = { x e. I | 0 e. NN }
6		0nnn 9285	. . . . . . 7 |- -. 0 e. NN
7	6	rgenw 2599	. . . . . 6 |- A. x e. I -. 0 e. NN
8		rabeq0 3542	. . . . . 6 |- ( { x e. I | 0 e. NN } = (/) <-> A. x e. I -. 0 e. NN )
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 |- { x e. I | 0 e. NN } = (/)
10	5, 9	eqtri 2255	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) = (/)
11		0fi 7155	. . . 4 |- (/) e. Fin
12	10, 11	eqeltri 2307	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin
13	12	a1i 9	. 2 |- ( I e. V -> ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin )
14		psrbag.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
15	14	psrbag 14948	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> 0 ) e. D <-> ( ( x e. I |-> 0 ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> 0 ) " NN ) e. Fin ) ) )
16	3, 13, 15	mpbir2and 953	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> 0 ) e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   (/)c0 3512   |-> cmpt 4177   `'ccnv 4754   "cima 4758   -->wf 5354  (class class class)co 6059   ^m cmap 6896   Fincfn 6989   0cc0 8144   NNcn 9258   NN0cn0 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-map 6898  df-en 6990  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-inn 9259  df-n0 9518

This theorem is referenced by: (None)