Theorem p0ex 4325

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	|- { (/) } e. _V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3862	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4260	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	pwex 4320	. 2 |- ~P (/) e. _V
4	1, 3	eqeltrri 2312	1 |- { (/) } e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715

This theorem is used by:  pp0ex  4326  undifexmid  4330  exmidexmid  4333  exmidundif  4343  exmidundifim  4344  exmid1stab  4345  ordtriexmidlem  4666  ontr2exmid  4672  onsucsssucexmid  4674  onsucelsucexmid  4677  regexmidlemm  4679  ordsoexmid  4709  ordtri2or2exmid  4718  ontri2orexmidim  4719  opthprc  4826  acexmidlema  6076  acexmidlem2  6082  tposexg  6529  2dom  7093  map1  7101  endisj  7122  ssfiexmid  7178  ssfiexmidt  7180  domfiexmid  7182  exmidpw  7215  exmidpw2en  7219  djuex  7383  exmidomni  7482  exmidonfinlem  7545  exmidfodomrlemr  7554  exmidfodomrlemrALT  7555  exmidaclem  7564  pw1dom2  7586  pw1ne1  7588  wexmiddiffilem  17043  sbthom  17071