Theorem p0ex 4112

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	|- { (/) } e. _V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3667	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4055	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	pwex 4107	. 2 |- ~P (/) e. _V
4	1, 3	eqeltrri 2213	1 |- { (/) } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   {csn 3527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533

This theorem is referenced by:  pp0ex  4113  undifexmid  4117  exmidexmid  4120  exmidundif  4129  exmidundifim  4130  ordtriexmidlem  4435  ontr2exmid  4440  onsucsssucexmid  4442  onsucelsucexmid  4445  regexmidlemm  4447  ordsoexmid  4477  ordtri2or2exmid  4486  opthprc  4590  acexmidlema  5765  acexmidlem2  5771  tposexg  6155  2dom  6699  map1  6706  endisj  6718  ssfiexmid  6770  domfiexmid  6772  exmidpw  6802  djuex  6928  exmidomni  7014  exmidonfinlem  7049  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  exmidaclem  7064  pw1dom2  13190  exmid1stab  13195  sbthom  13221