Theorem p0ex 4320

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	|- { (/) } e. _V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3857	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4255	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	pwex 4315	. 2 |- ~P (/) e. _V
4	1, 3	eqeltrri 2312	1 |- { (/) } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {csn 3705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711

This theorem is referenced by:  pp0ex  4321  undifexmid  4325  exmidexmid  4328  exmidundif  4338  exmidundifim  4339  exmid1stab  4340  ordtriexmidlem  4661  ontr2exmid  4667  onsucsssucexmid  4669  onsucelsucexmid  4672  regexmidlemm  4674  ordsoexmid  4704  ordtri2or2exmid  4713  ontri2orexmidim  4714  opthprc  4821  acexmidlema  6066  acexmidlem2  6072  tposexg  6519  2dom  7083  map1  7091  endisj  7112  ssfiexmid  7168  ssfiexmidt  7170  domfiexmid  7172  exmidpw  7205  exmidpw2en  7209  djuex  7373  exmidomni  7472  exmidonfinlem  7535  exmidfodomrlemr  7544  exmidfodomrlemrALT  7545  exmidaclem  7554  pw1dom2  7576  pw1ne1  7578  sbthom  16976