Theorem p0ex 4306

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	|- { (/) } e. _V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3846	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4242	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	pwex 4301	. 2 |- ~P (/) e. _V
4	1, 3	eqeltrri 2308	1 |- { (/) } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  pp0ex  4307  undifexmid  4311  exmidexmid  4314  exmidundif  4324  exmidundifim  4325  exmid1stab  4326  ordtriexmidlem  4646  ontr2exmid  4652  onsucsssucexmid  4654  onsucelsucexmid  4657  regexmidlemm  4659  ordsoexmid  4689  ordtri2or2exmid  4698  ontri2orexmidim  4699  opthprc  4806  acexmidlema  6049  acexmidlem2  6055  tposexg  6502  2dom  7059  map1  7067  endisj  7088  ssfiexmid  7144  ssfiexmidt  7146  domfiexmid  7148  exmidpw  7181  exmidpw2en  7185  djuex  7347  exmidomni  7446  exmidonfinlem  7509  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  exmidaclem  7528  pw1dom2  7550  pw1ne1  7552  sbthom  16932