Theorem pw1ne1 7206

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7203	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4527	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6408	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3791	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3570	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3182	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4116	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4174	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3736	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 112	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2243	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2233	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 657	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2343	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  𝒫 cpw 3566  {csn 3583  {cpr 3584  1_oc1o 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-1o 6395

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7208  sucpw1nel3  7210