Theorem pw1ne1 7223

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7220	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4540	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6425	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3803	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3579	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3190	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4128	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4186	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3748	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2250	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2240	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 662	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2350	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  𝒫 cpw 3575  {csn 3592  {cpr 3593  1_oc1o 6405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3809  df-tr 4100  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-1o 6412

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7225  sucpw1nel3  7227