Theorem pw1ne1 7360

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7357	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4599	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6528	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3851	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3625	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3232	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4240	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3795	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2279	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2269	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 664	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2380	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  𝒫 cpw 3621  {csn 3638  {cpr 3639  1_oc1o 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3857  df-tr 4151  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-1o 6515

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7362  sucpw1nel3  7364