Theorem pw1ne1 7410

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7407	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4634	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6573	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3882	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3653	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3259	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4210	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4271	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3823	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2302	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2292	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 666	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2403	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  {cpr 3667  1_oc1o 6553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-1o 6560

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7412  sucpw1nel3  7414