Theorem pw1ne1 7158

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7155	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4501	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6373	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3767	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3547	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3163	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4149	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3712	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 112	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2230	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2220	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 652	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2330	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  {cpr 3561  1_oc1o 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-1o 6360

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7160  sucpw1nel3  7162