Theorem pw1ne1 7289

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7286	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4575	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6482	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3830	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3605	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3214	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4156	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4217	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3774	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2266	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2256	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 663	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2367	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  𝒫 cpw 3601  {csn 3618  {cpr 3619  1_oc1o 6462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-1o 6469

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7291  sucpw1nel3  7293