Theorem pw1ne1 7312

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7309	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4580	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6496	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3835	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3610	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3219	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4161	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4222	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3779	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2269	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 663	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2370	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  𝒫 cpw 3606  {csn 3623  {cpr 3624  1_oc1o 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-1o 6483

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7314  sucpw1nel3  7316