Theorem pw1ne1 7185

Description: The power set of 1_o is not one. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ne1	⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Proof of Theorem pw1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1on 7182	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
2	1	onirri 4520	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o
3		df1o2 6397	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
4		pwpw0ss 3784	. . . . . . . 8 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
5	3	pweqi 3563	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
6	4, 5	sseqtrri 3177	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o
7		0ex 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
8		p0ex 4167	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
9	7, 8	prss 3729	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o) ↔ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 1o)
10	6, 9	mpbir 145	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 1o ∧ {∅} ∈ 𝒫 1o)
11	10	simpri 112	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ 𝒫 1o
12	3, 11	eqeltri 2239	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 𝒫 1o
13		eleq1 2229	. . . 4 ⊢ (𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ 𝒫 1o ↔ 1o ∈ 𝒫 1o))
14	12, 13	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 𝒫 1o)
15	2, 14	mto 652	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 1o = 1o
16	15	neir 2339	1 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  {csn 3576  {cpr 3577  1_oc1o 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384

This theorem is referenced by:  pw1nel3  7187  sucpw1nel3  7189