Theorem r19.29uz 10956

Description: A version of 19.29 1613 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	|- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( j, k)   M( k)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 9504	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	ex 114	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
4		pm3.2 138	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
6	3, 5	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( ( k e. Z -> ph ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) ) )
7	6	ralimdv2 2540	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
8	7	impcom 124	. . . 4 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
9		ralim 2529	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
11	10	reximdva 2572	. 2 |- ( A. k e. Z ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
12	11	imp 123	1 |- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   ` cfv 5198   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  climcaucn  11314