Theorem r19.29uz 10796

Description: A version of 19.29 1600 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	|- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( j, k)   M( k)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 9367	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	ex 114	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
4		pm3.2 138	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
6	3, 5	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( ( k e. Z -> ph ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) ) )
7	6	ralimdv2 2505	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
8	7	impcom 124	. . . 4 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
9		ralim 2494	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
11	10	reximdva 2537	. 2 |- ( A. k e. Z ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
12	11	imp 123	1 |- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   ` cfv 5131   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  climcaucn  11152