Theorem r19.29uz 11503

Description: A version of 19.29 1666 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	|- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( j, k)   M( k)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	uztrn2 9740	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
3	2	ex 115	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
4		pm3.2 139	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( ph -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
6	3, 5	imim12d 74	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( ( k e. Z -> ph ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) ) )
7	6	ralimdv2 2600	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) ) )
8	7	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) )
9		ralim 2589	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps -> ( ph /\ ps ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( A. k e. Z ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
11	10	reximdva 2632	. 2 |- ( A. k e. Z ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
12	11	imp 124	1 |- ( ( A. k e. Z ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   ` cfv 5318   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltwlin 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  climcaucn  11862