Theorem climcaucn 11533

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11529 but adds the part that ( F ` k ) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> M e. ZZ )
3		1rp 9749	. . . . 5 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> 1 e. RR+ )
5		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
6		climdm 11477	. . . . . 6 |- ( F e. dom ~~> <-> F ~~> ( ~~> ` F ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( F e. dom ~~> -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11469	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	10	ralimi 2560	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
12	11	reximi 2594	. . 3 |- ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 12	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
14		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
15	14, 1	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
16		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
17	16	climcau 11529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
19	16	r19.29uz 11174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC /\ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
21	20	ralimdv 2565	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
26	1, 16	cau4 11298	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
29	28	rexlimdvaa 2615	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
30	29	com23 78	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
31	30	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
32	13, 31	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   < clt 8078   - cmin 8214   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   abscabs 11179   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  serf0  11534