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Theorem climcaucn 11151
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11147 but adds the part that  ( F `  k ) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
climcauc.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcaucn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x

Proof of Theorem climcaucn
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcauc.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  M  e.  ZZ )
3 1rp 9473 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
43a1i 9 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  RR+ )
5 eqidd 2141 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  =  ( F `
 k ) )
6 climdm 11095 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  ~~>  <->  F  ~~>  (  ~~>  `  F
) )
76biimpi 119 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  F  ~~>  ( 
~~>  `  F ) )
87adantl 275 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F 
~~>  (  ~~>  `  F ) )
91, 2, 4, 5, 8climi 11087 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  (  ~~>  `  F
) ) )  <  1 ) )
10 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  (  ~~>  `  F
) ) )  <  1 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1110ralimi 2498 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( 
~~>  `  F ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )
1211reximi 2532 . . 3  |-  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( 
~~>  `  F ) ) )  <  1 )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
139, 12syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
14 eluzelz 9358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
1514, 1eleq2s 2235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
16 eqid 2140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
1716climcau 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
1815, 17sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
1916r19.29uz 10795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
2019ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
2120ralimdv 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
2218, 21mpan9 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
2322an32s 558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
2423adantll 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
2524ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F  e. 
dom 
~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
261, 16cau4 10919 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
2726ad2antrl 482 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
2825, 27sylibrd 168 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F  e. 
dom 
~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
2928rexlimdvaa 2553 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) ) )
3029com23 78 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) ) )
3130imp 123 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
3213, 31mpd 13 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3936   dom cdm 4546   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   1c1 7644    < clt 7823    - cmin 7956   ZZcz 9077   ZZ>=cuz 9349   RR+crp 9469   abscabs 10800    ~~> cli 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079
This theorem is referenced by:  serf0  11152
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