Theorem climcaucn 11497

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11493 but adds the part that ( F ` k ) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> M e. ZZ )
3		1rp 9726	. . . . 5 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> 1 e. RR+ )
5		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
6		climdm 11441	. . . . . 6 |- ( F e. dom ~~> <-> F ~~> ( ~~> ` F ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( F e. dom ~~> -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11433	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	10	ralimi 2557	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
12	11	reximi 2591	. . 3 |- ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 12	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
14		eluzelz 9604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
15	14, 1	eleq2s 2288	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
16		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
17	16	climcau 11493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
19	16	r19.29uz 11139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC /\ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
21	20	ralimdv 2562	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
26	1, 16	cau4 11263	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
29	28	rexlimdvaa 2612	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
30	29	com23 78	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
31	30	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
32	13, 31	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   < clt 8056   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   RR+crp 9722   abscabs 11144   ~~> cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  serf0  11498