Theorem climcaucn 11361

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11357 but adds the part that ( F ` k ) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> M e. ZZ )
3		1rp 9659	. . . . 5 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> 1 e. RR+ )
5		eqidd 2178	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
6		climdm 11305	. . . . . 6 |- ( F e. dom ~~> <-> F ~~> ( ~~> ` F ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( F e. dom ~~> -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> F ~~> ( ~~> ` F ) )
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11297	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	10	ralimi 2540	. . . 4 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
12	11	reximi 2574	. . 3 |- ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( ~~> ` F ) ) ) < 1 ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 12	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC )
14		eluzelz 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
15	14, 1	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
16		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
17	16	climcau 11357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
19	16	r19.29uz 11003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC /\ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
21	20	ralimdv 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. Z /\ F e. dom ~~> ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
26	1, 16	cau4 11127	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ( ZZ>= ` n ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC ) ) -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
29	28	rexlimdvaa 2595	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
30	29	com23 78	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) )
31	30	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> ( E. n e. Z A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( F ` k ) e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
32	13, 31	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   dom cdm 4628   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   1c1 7814   < clt 7994   - cmin 8130   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   RR+crp 9655   abscabs 11008   ~~> cli 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289

This theorem is referenced by:  serf0  11362