Theorem uztrn2 9893

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	|- Z = ( ZZ>= ` K )

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	|- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` K )
2	1	eleq2i 2301	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` K ) )
3		uztrn 9892	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
4	3	ancoms 268	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 4	sylanb 284	. 2 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
6	5, 1	eleqtrrdi 2328	1 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   ZZ>=cuz 9874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-neg 8464  df-z 9598  df-uz 9875

This theorem is referenced by:  eluznn0  9952  eluznn  9953  elfzuz2  10386  rexuz3  11704  r19.29uz  11706  r19.2uz  11707  clim2  11997  clim2c  11998  clim0c  12000  2clim  12015  climabs0  12021  climcn1  12022  climcn2  12023  climsqz  12049  climsqz2  12050  clim2ser  12051  clim2ser2  12052  climub  12058  serf0  12066  mertenslemi1  12250  clim2divap  12255  fprodntrivap  12299  fprodeq0  12332  lmbrf  15210  lmss  15241  lmres  15243  txlm  15274