Theorem uztrn2 9493

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	|- Z = ( ZZ>= ` K )

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	|- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` K )
2	1	eleq2i 2237	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` K ) )
3		uztrn 9492	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
4	3	ancoms 266	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 4	sylanb 282	. 2 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
6	5, 1	eleqtrrdi 2264	1 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5196   ZZ>=cuz 9476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-pre-ltwlin 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-neg 8082  df-z 9202  df-uz 9477

This theorem is referenced by:  eluznn0  9547  eluznn  9548  elfzuz2  9974  rexuz3  10943  r19.29uz  10945  r19.2uz  10946  clim2  11235  clim2c  11236  clim0c  11238  2clim  11253  climabs0  11259  climcn1  11260  climcn2  11261  climsqz  11287  climsqz2  11288  clim2ser  11289  clim2ser2  11290  climub  11296  serf0  11304  mertenslemi1  11487  clim2divap  11492  fprodntrivap  11536  fprodeq0  11569  lmbrf  12970  lmss  13001  lmres  13003  txlm  13034