Theorem uztrn2 9545

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	|- Z = ( ZZ>= ` K )

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	|- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` K )
2	1	eleq2i 2244	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` K ) )
3		uztrn 9544	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
4	3	ancoms 268	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 4	sylanb 284	. 2 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
6	5, 1	eleqtrrdi 2271	1 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5217   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltwlin 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  eluznn0  9599  eluznn  9600  elfzuz2  10029  rexuz3  10999  r19.29uz  11001  r19.2uz  11002  clim2  11291  clim2c  11292  clim0c  11294  2clim  11309  climabs0  11315  climcn1  11316  climcn2  11317  climsqz  11343  climsqz2  11344  clim2ser  11345  clim2ser2  11346  climub  11352  serf0  11360  mertenslemi1  11543  clim2divap  11548  fprodntrivap  11592  fprodeq0  11625  lmbrf  13718  lmss  13749  lmres  13751  txlm  13782