ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.29uz GIF version

Theorem r19.29uz 10650
Description: A version of 19.29 1580 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.29uz ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 9239 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32ex 114 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
4 pm3.2 138 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓)))
54a1i 9 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓))))
63, 5imim12d 74 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝜓 → (𝜑𝜓)))))
76ralimdv2 2474 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓))))
87impcom 124 . . . 4 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)))
9 ralim 2463 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
108, 9syl 14 . . 3 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1110reximdva 2506 . 2 (∀𝑘𝑍 𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1211imp 123 1 ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wrex 2389  cfv 5079  cuz 9222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-pre-ltwlin 7652
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-neg 7853  df-z 8953  df-uz 9223
This theorem is referenced by:  climcaucn  11006
  Copyright terms: Public domain W3C validator