ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.29uz GIF version

Theorem r19.29uz 10972
Description: A version of 19.29 1620 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.29uz ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 9521 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32ex 115 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
4 pm3.2 139 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓)))
54a1i 9 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑𝜓))))
63, 5imim12d 74 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝜓 → (𝜑𝜓)))))
76ralimdv2 2547 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓))))
87impcom 125 . . . 4 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)))
9 ralim 2536 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
108, 9syl 14 . . 3 ((∀𝑘𝑍 𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1110reximdva 2579 . 2 (∀𝑘𝑍 𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓)))
1211imp 124 1 ((∀𝑘𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cfv 5211  cuz 9504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltwlin 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-neg 8108  df-z 9230  df-uz 9505
This theorem is referenced by:  climcaucn  11330
  Copyright terms: Public domain W3C validator