ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexanuz2 Unicode version

Theorem rexanuz2 10942
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexanuz2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)    M( k)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9479 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2265 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
43a1d 22 . . 3  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ ) )
54rexlimiv 2581 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  M  e.  ZZ )
63a1d 22 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  M  e.  ZZ ) )
76rexlimiv 2581 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 274 . 2  |-  ( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  M  e.  ZZ )
92rexuz3 10941 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
10 rexanuz 10939 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
112rexuz3 10941 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
122rexuz3 10941 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1311, 12anbi12d 470 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) ) )
1410, 13bitr4id 198 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
) )
159, 14bitrd 187 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps ) ) )
165, 8, 15pm5.21nii 699 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   ` cfv 5196   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475
This theorem is referenced by:  recvguniq  10946  climuni  11243  2clim  11251  climcn2  11259  txlm  13032
  Copyright terms: Public domain W3C validator