Theorem rexanuz2 11502

Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexanuz2	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)   M( k)

Proof of Theorem rexanuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9727	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( j e. Z -> M e. ZZ )
4	3	a1d 22	. . 3 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ ) )
5	4	rexlimiv 2642	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
6	3	a1d 22	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ ) )
7	6	rexlimiv 2642	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> M e. ZZ )
9	2	rexuz3 11501	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10		rexanuz 11499	. . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
11	2	rexuz3 11501	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
12	2	rexuz3 11501	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
14	10, 13	bitr4id 199	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
15	9, 14	bitrd 188	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
16	5, 8, 15	pm5.21nii 709	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   ` cfv 5318   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  recvguniq  11506  climuni  11804  2clim  11812  climcn2  11820  txlm  14953