Theorem rexanuz2 10756

Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexanuz2	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)   M( k)

Proof of Theorem rexanuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9324	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleq2s 2232	. . . 4 |- ( j e. Z -> M e. ZZ )
4	3	a1d 22	. . 3 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ ) )
5	4	rexlimiv 2541	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
6	3	a1d 22	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ ) )
7	6	rexlimiv 2541	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> M e. ZZ )
9	2	rexuz3 10755	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	2	rexuz3 10755	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
11	2	rexuz3 10755	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
12	10, 11	anbi12d 464	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
13		rexanuz 10753	. . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
14	12, 13	syl6rbbr 198	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
15	9, 14	bitrd 187	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
16	5, 8, 15	pm5.21nii 693	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   ` cfv 5118   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  recvguniq  10760  climuni  11055  2clim  11063  climcn2  11071  txlm  12437