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Theorem rexanuz2 10412
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexanuz2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)    M( k)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9014 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2182 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
43a1d 22 . . 3  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ ) )
54rexlimiv 2483 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  M  e.  ZZ )
63a1d 22 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  M  e.  ZZ ) )
76rexlimiv 2483 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 270 . 2  |-  ( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  M  e.  ZZ )
92rexuz3 10411 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
102rexuz3 10411 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
112rexuz3 10411 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1210, 11anbi12d 457 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) ) )
13 rexanuz 10409 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
1412, 13syl6rbbr 197 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
) )
159, 14bitrd 186 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps ) ) )
165, 8, 15pm5.21nii 655 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   ` cfv 5010   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010
This theorem is referenced by:  recvguniq  10416  climuni  10668  2clim  10676  climcn2  10685
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