Theorem r19.2uz 10935

Description: A version of r19.2m 3495 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9475	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
2		uzid 9480	. . . . . 6 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3		elex2 2742	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
5		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleq2s 2261	. . . 4 |- ( j e. Z -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
7		r19.2m 3495	. . . 4 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
8	6, 7	sylan 281	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
9	5	uztrn2 9483	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
10	9	ex 114	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
11	10	anim1d 334	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ ph ) -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
12	11	reximdv2 2565	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph ) )
13	12	imp 123	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
14	8, 13	syldan 280	. 2 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
15	14	rexlimiva 2578	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   ` cfv 5188   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  recvguniq  10937  climge0  11266