Theorem r19.2uz 10997

Description: A version of r19.2m 3509 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9535	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
2		uzid 9540	. . . . . 6 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3		elex2 2753	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
5		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleq2s 2272	. . . 4 |- ( j e. Z -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
7		r19.2m 3509	. . . 4 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
9	5	uztrn2 9543	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
10	9	ex 115	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
11	10	anim1d 336	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ ph ) -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
12	11	reximdv2 2576	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph ) )
13	12	imp 124	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
14	8, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
15	14	rexlimiva 2589	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   ` cfv 5216   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-neg 8129  df-z 9252  df-uz 9527

This theorem is referenced by:  recvguniq  10999  climge0  11328