ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Unicode version

Theorem r19.2uz 10758
Description: A version of r19.2m 3444 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.2uz  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9328 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2 uzid 9333 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3 elex2 2697 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
41, 2, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
5 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
64, 5eleq2s 2232 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
7 r19.2m 3444 . . . 4  |-  ( ( E. k  k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
86, 7sylan 281 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
95uztrn2 9336 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
109ex 114 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
1110anim1d 334 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  Z  /\  ph )
) )
1211reximdv2 2529 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph ) )
1312imp 123 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
148, 13syldan 280 . 2  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
1514rexlimiva 2542 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   ` cfv 5118   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by:  recvguniq  10760  climge0  11087
  Copyright terms: Public domain W3C validator