ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Unicode version

Theorem r19.2uz 10391
Description: A version of r19.2m 3365 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.2uz  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8997 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2 uzid 9002 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3 elex2 2635 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
41, 2, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
5 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
64, 5eleq2s 2182 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  E. k 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
7 r19.2m 3365 . . . 4  |-  ( ( E. k  k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
86, 7sylan 277 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
95uztrn2 9005 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
109ex 113 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
1110anim1d 329 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  Z  /\  ph )
) )
1211reximdv2 2472 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph ) )
1312imp 122 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
148, 13syldan 276 . 2  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
1514rexlimiva 2484 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   ` cfv 5002   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-neg 7635  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  recvguniq  10393  climge0  10677
  Copyright terms: Public domain W3C validator