Theorem r19.2uz 11678

Description: A version of r19.2m 3596 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9863	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
2		uzid 9868	. . . . . 6 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3		elex2 2830	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
5		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleq2s 2327	. . . 4 |- ( j e. Z -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
7		r19.2m 3596	. . . 4 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
9	5	uztrn2 9872	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
10	9	ex 115	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
11	10	anim1d 336	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ ph ) -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
12	11	reximdv2 2641	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph ) )
13	12	imp 124	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
14	8, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
15	14	rexlimiva 2655	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   ` cfv 5352   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  recvguniq  11680  climge0  12010