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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > readdcan | Unicode version |
Description: Cancellation law for addition over the reals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
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readdcan |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-rnegex 7753 |
. . . 4
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2 | 1 | 3ad2ant3 1005 |
. . 3
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3 | oveq2 5790 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | adantl 275 |
. . . . . 6
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5 | simprl 521 |
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6 | 5 | recnd 7818 |
. . . . . . . . 9
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7 | simpl3 987 |
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8 | 7 | recnd 7818 |
. . . . . . . . 9
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9 | simpl1 985 |
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10 | 9 | recnd 7818 |
. . . . . . . . 9
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11 | 6, 8, 10 | addassd 7812 |
. . . . . . . 8
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12 | simpl2 986 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | recnd 7818 |
. . . . . . . . 9
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14 | 6, 8, 13 | addassd 7812 |
. . . . . . . 8
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15 | 11, 14 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | adantr 274 |
. . . . . 6
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17 | 4, 16 | mpbird 166 |
. . . . 5
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18 | 8 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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19 | 6 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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20 | addcom 7923 |
. . . . . . . . 9
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21 | 18, 19, 20 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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22 | simplrr 526 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | eqtr3d 2175 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | oveq1d 5797 |
. . . . . 6
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25 | 10 | adantr 274 |
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26 | addid2 7925 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | syl 14 |
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28 | 24, 27 | eqtrd 2173 |
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29 | 23 | oveq1d 5797 |
. . . . . 6
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30 | 13 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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31 | addid2 7925 |
. . . . . . 7
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32 | 30, 31 | syl 14 |
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33 | 29, 32 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
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34 | 17, 28, 33 | 3eqtr3d 2181 |
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35 | 34 | ex 114 |
. . 3
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36 | 2, 35 | rexlimddv 2557 |
. 2
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37 | oveq2 5790 |
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38 | 36, 37 | impbid1 141 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-i2m1 7749 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1737 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ral 2422 df-rex 2423 df-v 2691 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-iota 5096 df-fv 5139 df-ov 5785 |
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