Theorem restabs 13244

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	|- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t S ) )

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> J e. V )
2		simp3 999	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> T e. W )
3		ssexg 4137	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T e. W ) -> S e. _V )
4	3	3adant1 1015	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> S e. _V )
5		restco 13243	. . 3 |- ( ( J e. V /\ T e. W /\ S e. _V ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t ( T i^i S ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t ( T i^i S ) ) )
7		simp2 998	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> S C_ T )
8		sseqin2 3352	. . . 4 |- ( S C_ T <-> ( T i^i S ) = S )
9	7, 8	sylib 122	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( T i^i S ) = S )
10	9	oveq2d 5881	. 2 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( J ↾t ( T i^i S ) ) = ( J ↾t S ) )
11	6, 10	eqtrd 2208	1 |- ( ( J e. V /\ S C_ T /\ T e. W ) -> ( ( J ↾t T ) ↾t S ) = ( J ↾t S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   i^i cin 3126   C_ wss 3127  (class class class)co 5865   ↾_t crest 12608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-rest 12610

This theorem is referenced by:  rerestcntop  13619