ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restabs GIF version

Theorem restabs 13308
Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restabs ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → ((𝐽t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽t 𝑆))

Proof of Theorem restabs
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → 𝐽𝑉)
2 simp3 999 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → 𝑇𝑊)
3 ssexg 4139 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇𝑊) → 𝑆 ∈ V)
433adant1 1015 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5 restco 13307 . . 3 ((𝐽𝑉𝑇𝑊𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽t (𝑇𝑆)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1238 . 2 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → ((𝐽t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽t (𝑇𝑆)))
7 simp2 998 . . . 4 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → 𝑆𝑇)
8 sseqin2 3354 . . . 4 (𝑆𝑇 ↔ (𝑇𝑆) = 𝑆)
97, 8sylib 122 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → (𝑇𝑆) = 𝑆)
109oveq2d 5884 . 2 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → (𝐽t (𝑇𝑆)) = (𝐽t 𝑆))
116, 10eqtrd 2210 1 ((𝐽𝑉𝑆𝑇𝑇𝑊) → ((𝐽t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽t 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  (class class class)co 5868  t crest 12623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-rest 12625
This theorem is referenced by:  rerestcntop  13683
  Copyright terms: Public domain W3C validator