Theorem restabs 15259

Description: Equivalence of being a subspace of a subspace and being a subspace of the original. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restabs	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem restabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝐽 ∈ 𝑉)
2		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑇 ∈ 𝑊)
3		ssexg 4270	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
4	3	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
5		restco 15258	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)))
7		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		sseqin2 3450	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
9	7, 8	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	oveq2d 6095	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∩ 𝑆)) = (𝐽 ↾t 𝑆))
11	6, 10	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑇) ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  (class class class)co 6079   ↾_t crest 13576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-rest 13578

This theorem is referenced by:  rerestcntop  15642  rerest  15644