Theorem rng0cl 13906

Description: The zero element of a non-unital ring belongs to its base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng0cl.b	|- B = ( Base ` R )
rng0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rng0cl	|- ( R e. Rng -> .0. e. B )

Proof of Theorem rng0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 13901	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
2		rng0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		rng0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13562	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Rng -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   Basecbs 13032   0gc0g 13289   Grpcgrp 13533  Rngcrng 13895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-abl 13824  df-rng 13896

This theorem is referenced by:  rngrz  13909