Theorem rng0cl 13442

Description: The zero element of a non-unital ring belongs to its base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng0cl.b	|- B = ( Base ` R )
rng0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rng0cl	|- ( R e. Rng -> .0. e. B )

Proof of Theorem rng0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 13437	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
2		rng0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		rng0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13104	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Rng -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255   Basecbs 12621   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075  Rngcrng 13431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-abl 13360  df-rng 13432

This theorem is referenced by:  rngrz  13445