Theorem rngcl 14038

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	|- B = ( Base ` R )
rngcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngcl	|- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	rngmgp 14030	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
3		sgrpmgm 13570	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) e. Smgrp -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
5	4	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
6		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
7		rngcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
8	1, 7	mgpbasg 14020	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9	8	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10	6, 9	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
12	11, 9	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
14		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
15	13, 14	mgmcl 13522	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mgm /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17		rngcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	1, 17	mgpplusgg 14018	. . . 4 |- ( R e. Rng -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
19	18	oveqd 6045	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
20	19	3ad2ant1 1045	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	16, 20, 9	3eltr4d 2315	1 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241  Mgmcmgm 13517  Smgrpcsgrp 13564  mulGrpcmgp 14014  Rngcrng 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mgp 14015  df-rng 14027

This theorem is referenced by:  rnglz  14039  rngrz  14040  rngmneg1  14041  rngmneg2  14042  rngm2neg  14043  rngsubdi  14045  rngsubdir  14046  rngressid  14048  imasrng  14050  qusrng  14052  opprrng  14171  subrngmcl  14304  rnglidlmcl  14576  2idlcpblrng  14619  qusmulrng  14628