Theorem rngcl 13576

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	|- B = ( Base ` R )
rngcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngcl	|- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	rngmgp 13568	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
3		sgrpmgm 13109	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) e. Smgrp -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
5	4	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
6		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
7		rngcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
8	1, 7	mgpbasg 13558	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9	8	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10	6, 9	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
12	11, 9	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
13		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
14		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
15	13, 14	mgmcl 13061	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mgm /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17		rngcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	1, 17	mgpplusgg 13556	. . . 4 |- ( R e. Rng -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
19	18	oveqd 5942	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
20	19	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	16, 20, 9	3eltr4d 2280	1 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781  Mgmcmgm 13056  Smgrpcsgrp 13103  mulGrpcmgp 13552  Rngcrng 13564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mgp 13553  df-rng 13565

This theorem is referenced by:  rnglz  13577  rngrz  13578  rngmneg1  13579  rngmneg2  13580  rngm2neg  13581  rngsubdi  13583  rngsubdir  13584  rngressid  13586  imasrng  13588  qusrng  13590  opprrng  13709  subrngmcl  13841  rnglidlmcl  14112  2idlcpblrng  14155  qusmulrng  14164