Theorem rngcl 14350

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	|- B = ( Base ` R )
rngcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngcl	|- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	rngmgp 14342	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
3		sgrpmgm 13781	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) e. Smgrp -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
5	4	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
6		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
7		rngcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
8	1, 7	mgpbasg 14331	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9	8	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10	6, 9	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
12	11, 9	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
15	13, 14	mgmcl 13738	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mgm /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17		rngcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	1, 17	mgpplusgg 14328	. . . 4 |- ( R e. Rng -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
19	18	oveqd 6105	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
20	19	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	16, 20, 9	3eltr4d 2322	1 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Mgmcmgm 13733  Smgrpcsgrp 13775  mulGrpcmgp 14324  Rngcrng 14338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mgp 14325  df-rng 14339

This theorem is used by:  rnglz  14351  rngrz  14352  rngmneg1  14353  rngmneg2  14354  rngm2neg  14355  rngsubdi  14357  rngsubdir  14358  rngressid  14360  imasrng  14362  qusrng  14364  opprrng  14491  subrngmcl  14626  rnglidlmcl  14926  2idlcpblrng  14969  qusmulrng  14978