Theorem rngcl 13706

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	|- B = ( Base ` R )
rngcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
rngcl	|- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	rngmgp 13698	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
3		sgrpmgm 13239	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) e. Smgrp -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( R e. Rng -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
5	4	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mgm )
6		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
7		rngcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
8	1, 7	mgpbasg 13688	. . . . 5 |- ( R e. Rng -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9	8	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10	6, 9	eleqtrd 2284	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
12	11, 9	eleqtrd 2284	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
13		eqid 2205	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
14		eqid 2205	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
15	13, 14	mgmcl 13191	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mgm /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17		rngcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	1, 17	mgpplusgg 13686	. . . 4 |- ( R e. Rng -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
19	18	oveqd 5961	. . 3 |- ( R e. Rng -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
20	19	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	16, 20, 9	3eltr4d 2289	1 |- ( ( R e. Rng /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910  Mgmcmgm 13186  Smgrpcsgrp 13233  mulGrpcmgp 13682  Rngcrng 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mgp 13683  df-rng 13695

This theorem is referenced by:  rnglz  13707  rngrz  13708  rngmneg1  13709  rngmneg2  13710  rngm2neg  13711  rngsubdi  13713  rngsubdir  13714  rngressid  13716  imasrng  13718  qusrng  13720  opprrng  13839  subrngmcl  13971  rnglidlmcl  14242  2idlcpblrng  14285  qusmulrng  14294