Theorem grpidcl 13887

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13865	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13796	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13404   0gc0g 13663   Mndcmnd 13782   Grpcgrp 13858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861

This theorem is used by:  grpbn0  13888  grprcan  13895  grpid  13897  isgrpid2  13898  grprinv  13909  grpidinv  13917  grpinvid  13918  grpressid  13919  grpidrcan  13923  grpidlcan  13924  grpidssd  13934  grpinvval2  13941  grpsubid1  13943  dfgrp3m  13957  grpsubpropd2  13963  imasgrp  13967  mulgcl  13995  mulgz  14006  subg0  14036  subg0cl  14038  issubg2m  14045  issubg4m  14049  grpissubg  14050  subgintm  14054  0subg  14055  nmzsubg  14066  0nsg  14070  triv1nsgd  14074  eqgid  14082  eqg0el  14085  qusgrp  14088  qus0  14091  ghmid  14105  ghmrn  14113  ghmpreima  14122  f1ghm0to0  14128  kerf1ghm  14130  rng0cl  14326  rnglz  14328  rngrz  14329  ring0cl  14410  ringlz  14432  ringrz  14433  aprlring  14684  lmod0vcl  14738  lmodfopnelem1  14745  rmodislmodlem  14771  rmodislmod  14772  islss3  14800  ascl0  15111  psr0cl  15163  psr0lid  15164  mplsubgfilemm  15180