Theorem grpidcl 13883

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13861	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13792	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13401   0gc0g 13659   Mndcmnd 13778   Grpcgrp 13854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857

This theorem is used by:  grpbn0  13884  grprcan  13891  grpid  13893  isgrpid2  13894  grprinv  13905  grpidinv  13913  grpinvid  13914  grpressid  13915  grpidrcan  13919  grpidlcan  13920  grpidssd  13930  grpinvval2  13937  grpsubid1  13939  dfgrp3m  13953  grpsubpropd2  13959  imasgrp  13963  mulgcl  13991  mulgz  14002  subg0  14032  subg0cl  14034  issubg2m  14041  issubg4m  14045  grpissubg  14046  subgintm  14050  0subg  14051  nmzsubg  14062  0nsg  14066  triv1nsgd  14070  eqgid  14078  eqg0el  14081  qusgrp  14084  qus0  14087  ghmid  14101  ghmrn  14109  ghmpreima  14118  f1ghm0to0  14124  kerf1ghm  14126  rng0cl  14291  rnglz  14293  rngrz  14294  ring0cl  14375  ringlz  14397  ringrz  14398  aprlring  14649  lmod0vcl  14703  lmodfopnelem1  14710  rmodislmodlem  14736  rmodislmod  14737  islss3  14765  ascl0  15076  psr0cl  15121  psr0lid  15122  mplsubgfilemm  15138