Theorem grpidcl 13611

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13589	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13512	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13081   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   Grpcgrp 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585

This theorem is referenced by:  grpbn0  13612  grprcan  13619  grpid  13621  isgrpid2  13622  grprinv  13633  grpidinv  13641  grpinvid  13642  grpressid  13643  grpidrcan  13647  grpidlcan  13648  grpidssd  13658  grpinvval2  13665  grpsubid1  13667  dfgrp3m  13681  grpsubpropd2  13687  imasgrp  13697  mulgcl  13725  mulgz  13736  subg0  13766  subg0cl  13768  issubg2m  13775  issubg4m  13779  grpissubg  13780  subgintm  13784  0subg  13785  nmzsubg  13796  0nsg  13800  triv1nsgd  13804  eqgid  13812  eqg0el  13815  qusgrp  13818  qus0  13821  ghmid  13835  ghmrn  13843  ghmpreima  13852  f1ghm0to0  13858  kerf1ghm  13860  rng0cl  13955  rnglz  13957  rngrz  13958  ring0cl  14033  ringlz  14055  ringrz  14056  lmod0vcl  14330  lmodfopnelem1  14337  rmodislmodlem  14363  rmodislmod  14364  islss3  14392  psr0cl  14694  psr0lid  14695  mplsubgfilemm  14711