Theorem grpidcl 13303

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13281	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13204	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270   Basecbs 12774   0gc0g 13030   Mndcmnd 13190   Grpcgrp 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277

This theorem is referenced by:  grpbn0  13304  grprcan  13311  grpid  13313  isgrpid2  13314  grprinv  13325  grpidinv  13333  grpinvid  13334  grpressid  13335  grpidrcan  13339  grpidlcan  13340  grpidssd  13350  grpinvval2  13357  grpsubid1  13359  dfgrp3m  13373  grpsubpropd2  13379  imasgrp  13389  mulgcl  13417  mulgz  13428  subg0  13458  subg0cl  13460  issubg2m  13467  issubg4m  13471  grpissubg  13472  subgintm  13476  0subg  13477  nmzsubg  13488  0nsg  13492  triv1nsgd  13496  eqgid  13504  eqg0el  13507  qusgrp  13510  qus0  13513  ghmid  13527  ghmrn  13535  ghmpreima  13544  f1ghm0to0  13550  kerf1ghm  13552  rng0cl  13647  rnglz  13649  rngrz  13650  ring0cl  13725  ringlz  13747  ringrz  13748  lmod0vcl  14021  lmodfopnelem1  14028  rmodislmodlem  14054  rmodislmod  14055  islss3  14083  psr0cl  14385  psr0lid  14386  mplsubgfilemm  14402