Theorem grpidcl 13893

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13871	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13802	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   Basecbs 13410   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788   Grpcgrp 13864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867

This theorem is used by:  grpbn0  13894  grprcan  13901  grpid  13903  isgrpid2  13904  grprinv  13915  grpidinv  13923  grpinvid  13924  grpressid  13925  grpidrcan  13929  grpidlcan  13930  grpidssd  13940  grpinvval2  13947  grpsubid1  13949  dfgrp3m  13963  grpsubpropd2  13969  imasgrp  13973  mulgcl  14001  mulgz  14012  subg0  14042  subg0cl  14044  issubg2m  14051  issubg4m  14055  grpissubg  14056  subgintm  14060  0subg  14061  nmzsubg  14072  0nsg  14076  triv1nsgd  14080  eqgid  14088  eqg0el  14091  qusgrp  14094  qus0  14097  ghmid  14111  ghmrn  14119  ghmpreima  14128  f1ghm0to0  14134  kerf1ghm  14136  rng0cl  14349  rnglz  14351  rngrz  14352  ring0cl  14433  ringlz  14455  ringrz  14456  aprlring  14709  lmod0vcl  14763  lmodfopnelem1  14770  rmodislmodlem  14796  rmodislmod  14797  islss3  14825  ascl0  15136  psr0cl  15191  psr0lid  15192  mplsubgfilemm  15214