Theorem grpidcl 13630

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13608	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13531	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13100   0gc0g 13357   Mndcmnd 13517   Grpcgrp 13601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604

This theorem is referenced by:  grpbn0  13631  grprcan  13638  grpid  13640  isgrpid2  13641  grprinv  13652  grpidinv  13660  grpinvid  13661  grpressid  13662  grpidrcan  13666  grpidlcan  13667  grpidssd  13677  grpinvval2  13684  grpsubid1  13686  dfgrp3m  13700  grpsubpropd2  13706  imasgrp  13716  mulgcl  13744  mulgz  13755  subg0  13785  subg0cl  13787  issubg2m  13794  issubg4m  13798  grpissubg  13799  subgintm  13803  0subg  13804  nmzsubg  13815  0nsg  13819  triv1nsgd  13823  eqgid  13831  eqg0el  13834  qusgrp  13837  qus0  13840  ghmid  13854  ghmrn  13862  ghmpreima  13871  f1ghm0to0  13877  kerf1ghm  13879  rng0cl  13975  rnglz  13977  rngrz  13978  ring0cl  14053  ringlz  14075  ringrz  14076  lmod0vcl  14350  lmodfopnelem1  14357  rmodislmodlem  14383  rmodislmod  14384  islss3  14412  psr0cl  14714  psr0lid  14715  mplsubgfilemm  14731