Theorem grpidcl 13784

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13762	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13691	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677   Grpcgrp 13755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758

This theorem is referenced by:  grpbn0  13785  grprcan  13792  grpid  13794  isgrpid2  13795  grprinv  13806  grpidinv  13814  grpinvid  13815  grpressid  13816  grpidrcan  13820  grpidlcan  13821  grpidssd  13831  grpinvval2  13838  grpsubid1  13840  dfgrp3m  13854  grpsubpropd2  13860  imasgrp  13864  mulgcl  13892  mulgz  13903  subg0  13933  subg0cl  13935  issubg2m  13942  issubg4m  13946  grpissubg  13947  subgintm  13951  0subg  13952  nmzsubg  13963  0nsg  13967  triv1nsgd  13971  eqgid  13979  eqg0el  13982  qusgrp  13985  qus0  13988  ghmid  14002  ghmrn  14010  ghmpreima  14019  f1ghm0to0  14025  kerf1ghm  14027  rng0cl  14182  rnglz  14184  rngrz  14185  ring0cl  14264  ringlz  14286  ringrz  14287  aprlring  14538  lmod0vcl  14591  lmodfopnelem1  14598  rmodislmodlem  14624  rmodislmod  14625  islss3  14653  psr0cl  14962  psr0lid  14963  mplsubgfilemm  14979