Theorem grpidcl 13602

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13580	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13503	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324   Basecbs 13072   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489   Grpcgrp 13573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576

This theorem is referenced by:  grpbn0  13603  grprcan  13610  grpid  13612  isgrpid2  13613  grprinv  13624  grpidinv  13632  grpinvid  13633  grpressid  13634  grpidrcan  13638  grpidlcan  13639  grpidssd  13649  grpinvval2  13656  grpsubid1  13658  dfgrp3m  13672  grpsubpropd2  13678  imasgrp  13688  mulgcl  13716  mulgz  13727  subg0  13757  subg0cl  13759  issubg2m  13766  issubg4m  13770  grpissubg  13771  subgintm  13775  0subg  13776  nmzsubg  13787  0nsg  13791  triv1nsgd  13795  eqgid  13803  eqg0el  13806  qusgrp  13809  qus0  13812  ghmid  13826  ghmrn  13834  ghmpreima  13843  f1ghm0to0  13849  kerf1ghm  13851  rng0cl  13946  rnglz  13948  rngrz  13949  ring0cl  14024  ringlz  14046  ringrz  14047  lmod0vcl  14321  lmodfopnelem1  14328  rmodislmodlem  14354  rmodislmod  14355  islss3  14383  psr0cl  14685  psr0lid  14686  mplsubgfilemm  14702