Theorem grpidcl 13742

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13720	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13643	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352   Basecbs 13212   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629   Grpcgrp 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716

This theorem is referenced by:  grpbn0  13743  grprcan  13750  grpid  13752  isgrpid2  13753  grprinv  13764  grpidinv  13772  grpinvid  13773  grpressid  13774  grpidrcan  13778  grpidlcan  13779  grpidssd  13789  grpinvval2  13796  grpsubid1  13798  dfgrp3m  13812  grpsubpropd2  13818  imasgrp  13828  mulgcl  13856  mulgz  13867  subg0  13897  subg0cl  13899  issubg2m  13906  issubg4m  13910  grpissubg  13911  subgintm  13915  0subg  13916  nmzsubg  13927  0nsg  13931  triv1nsgd  13935  eqgid  13943  eqg0el  13946  qusgrp  13949  qus0  13952  ghmid  13966  ghmrn  13974  ghmpreima  13983  f1ghm0to0  13989  kerf1ghm  13991  rng0cl  14087  rnglz  14089  rngrz  14090  ring0cl  14165  ringlz  14187  ringrz  14188  aprlring  14434  lmod0vcl  14465  lmodfopnelem1  14472  rmodislmodlem  14498  rmodislmod  14499  islss3  14527  psr0cl  14836  psr0lid  14837  mplsubgfilemm  14853