Theorem grpidcl 13436

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13414	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13337	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280   Basecbs 12907   0gc0g 13163   Mndcmnd 13323   Grpcgrp 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410

This theorem is referenced by:  grpbn0  13437  grprcan  13444  grpid  13446  isgrpid2  13447  grprinv  13458  grpidinv  13466  grpinvid  13467  grpressid  13468  grpidrcan  13472  grpidlcan  13473  grpidssd  13483  grpinvval2  13490  grpsubid1  13492  dfgrp3m  13506  grpsubpropd2  13512  imasgrp  13522  mulgcl  13550  mulgz  13561  subg0  13591  subg0cl  13593  issubg2m  13600  issubg4m  13604  grpissubg  13605  subgintm  13609  0subg  13610  nmzsubg  13621  0nsg  13625  triv1nsgd  13629  eqgid  13637  eqg0el  13640  qusgrp  13643  qus0  13646  ghmid  13660  ghmrn  13668  ghmpreima  13677  f1ghm0to0  13683  kerf1ghm  13685  rng0cl  13780  rnglz  13782  rngrz  13783  ring0cl  13858  ringlz  13880  ringrz  13881  lmod0vcl  14154  lmodfopnelem1  14161  rmodislmodlem  14187  rmodislmod  14188  islss3  14216  psr0cl  14518  psr0lid  14519  mplsubgfilemm  14535