Theorem grpidcl 13675

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13653	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13576	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333   Basecbs 13145   0gc0g 13402   Mndcmnd 13562   Grpcgrp 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649

This theorem is referenced by:  grpbn0  13676  grprcan  13683  grpid  13685  isgrpid2  13686  grprinv  13697  grpidinv  13705  grpinvid  13706  grpressid  13707  grpidrcan  13711  grpidlcan  13712  grpidssd  13722  grpinvval2  13729  grpsubid1  13731  dfgrp3m  13745  grpsubpropd2  13751  imasgrp  13761  mulgcl  13789  mulgz  13800  subg0  13830  subg0cl  13832  issubg2m  13839  issubg4m  13843  grpissubg  13844  subgintm  13848  0subg  13849  nmzsubg  13860  0nsg  13864  triv1nsgd  13868  eqgid  13876  eqg0el  13879  qusgrp  13882  qus0  13885  ghmid  13899  ghmrn  13907  ghmpreima  13916  f1ghm0to0  13922  kerf1ghm  13924  rng0cl  14020  rnglz  14022  rngrz  14023  ring0cl  14098  ringlz  14120  ringrz  14121  lmod0vcl  14396  lmodfopnelem1  14403  rmodislmodlem  14429  rmodislmod  14430  islss3  14458  psr0cl  14765  psr0lid  14766  mplsubgfilemm  14782