Theorem grpidcl 13279

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13257	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13180	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5268   Basecbs 12751   0gc0g 13006   Mndcmnd 13166   Grpcgrp 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253

This theorem is referenced by:  grpbn0  13280  grprcan  13287  grpid  13289  isgrpid2  13290  grprinv  13301  grpidinv  13309  grpinvid  13310  grpressid  13311  grpidrcan  13315  grpidlcan  13316  grpidssd  13326  grpinvval2  13333  grpsubid1  13335  dfgrp3m  13349  grpsubpropd2  13355  imasgrp  13365  mulgcl  13393  mulgz  13404  subg0  13434  subg0cl  13436  issubg2m  13443  issubg4m  13447  grpissubg  13448  subgintm  13452  0subg  13453  nmzsubg  13464  0nsg  13468  triv1nsgd  13472  eqgid  13480  eqg0el  13483  qusgrp  13486  qus0  13489  ghmid  13503  ghmrn  13511  ghmpreima  13520  f1ghm0to0  13526  kerf1ghm  13528  rng0cl  13623  rnglz  13625  rngrz  13626  ring0cl  13701  ringlz  13723  ringrz  13724  lmod0vcl  13997  lmodfopnelem1  14004  rmodislmodlem  14030  rmodislmod  14031  islss3  14059  psr0cl  14361  psr0lid  14362  mplsubgfilemm  14378