Theorem grpidcl 13892

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13870	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13801	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   Basecbs 13409   0gc0g 13668   Mndcmnd 13787   Grpcgrp 13863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-0g 13670  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866

This theorem is used by:  grpbn0  13893  grprcan  13900  grpid  13902  isgrpid2  13903  grprinv  13914  grpidinv  13922  grpinvid  13923  grpressid  13924  grpidrcan  13928  grpidlcan  13929  grpidssd  13939  grpinvval2  13946  grpsubid1  13948  dfgrp3m  13962  grpsubpropd2  13968  imasgrp  13972  mulgcl  14000  mulgz  14011  subg0  14041  subg0cl  14043  issubg2m  14050  issubg4m  14054  grpissubg  14055  subgintm  14059  0subg  14060  nmzsubg  14071  0nsg  14075  triv1nsgd  14079  eqgid  14087  eqg0el  14090  qusgrp  14093  qus0  14096  ghmid  14110  ghmrn  14118  ghmpreima  14127  f1ghm0to0  14133  kerf1ghm  14135  rng0cl  14348  rnglz  14350  rngrz  14351  ring0cl  14432  ringlz  14454  ringrz  14455  aprlring  14708  lmod0vcl  14762  lmodfopnelem1  14769  rmodislmodlem  14795  rmodislmod  14796  islss3  14824  ascl0  15135  psr0cl  15200  psr0lid  15201  mvrclfi  15226  mplsubgfilemm  15231  mplsubgfilemcl  15232  mplsubgfileminv  15233