Theorem grpidcl 13577

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13555	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13478	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   Basecbs 13047   0gc0g 13304   Mndcmnd 13464   Grpcgrp 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551

This theorem is referenced by:  grpbn0  13578  grprcan  13585  grpid  13587  isgrpid2  13588  grprinv  13599  grpidinv  13607  grpinvid  13608  grpressid  13609  grpidrcan  13613  grpidlcan  13614  grpidssd  13624  grpinvval2  13631  grpsubid1  13633  dfgrp3m  13647  grpsubpropd2  13653  imasgrp  13663  mulgcl  13691  mulgz  13702  subg0  13732  subg0cl  13734  issubg2m  13741  issubg4m  13745  grpissubg  13746  subgintm  13750  0subg  13751  nmzsubg  13762  0nsg  13766  triv1nsgd  13770  eqgid  13778  eqg0el  13781  qusgrp  13784  qus0  13787  ghmid  13801  ghmrn  13809  ghmpreima  13818  f1ghm0to0  13824  kerf1ghm  13826  rng0cl  13921  rnglz  13923  rngrz  13924  ring0cl  13999  ringlz  14021  ringrz  14022  lmod0vcl  14296  lmodfopnelem1  14303  rmodislmodlem  14329  rmodislmod  14330  islss3  14358  psr0cl  14660  psr0lid  14661  mplsubgfilemm  14677