Theorem grpidcl 13557

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13535	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13458	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317   Basecbs 13027   0gc0g 13284   Mndcmnd 13444   Grpcgrp 13528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531

This theorem is referenced by:  grpbn0  13558  grprcan  13565  grpid  13567  isgrpid2  13568  grprinv  13579  grpidinv  13587  grpinvid  13588  grpressid  13589  grpidrcan  13593  grpidlcan  13594  grpidssd  13604  grpinvval2  13611  grpsubid1  13613  dfgrp3m  13627  grpsubpropd2  13633  imasgrp  13643  mulgcl  13671  mulgz  13682  subg0  13712  subg0cl  13714  issubg2m  13721  issubg4m  13725  grpissubg  13726  subgintm  13730  0subg  13731  nmzsubg  13742  0nsg  13746  triv1nsgd  13750  eqgid  13758  eqg0el  13761  qusgrp  13764  qus0  13767  ghmid  13781  ghmrn  13789  ghmpreima  13798  f1ghm0to0  13804  kerf1ghm  13806  rng0cl  13901  rnglz  13903  rngrz  13904  ring0cl  13979  ringlz  14001  ringrz  14002  lmod0vcl  14275  lmodfopnelem1  14282  rmodislmodlem  14308  rmodislmod  14309  islss3  14337  psr0cl  14639  psr0lid  14640  mplsubgfilemm  14656