Theorem grpidcl 13811

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13789	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13720	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372   Basecbs 13330   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706   Grpcgrp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785

This theorem is referenced by:  grpbn0  13812  grprcan  13819  grpid  13821  isgrpid2  13822  grprinv  13833  grpidinv  13841  grpinvid  13842  grpressid  13843  grpidrcan  13847  grpidlcan  13848  grpidssd  13858  grpinvval2  13865  grpsubid1  13867  dfgrp3m  13881  grpsubpropd2  13887  imasgrp  13891  mulgcl  13919  mulgz  13930  subg0  13960  subg0cl  13962  issubg2m  13969  issubg4m  13973  grpissubg  13974  subgintm  13978  0subg  13979  nmzsubg  13990  0nsg  13994  triv1nsgd  13998  eqgid  14006  eqg0el  14009  qusgrp  14012  qus0  14015  ghmid  14029  ghmrn  14037  ghmpreima  14046  f1ghm0to0  14052  kerf1ghm  14054  rng0cl  14217  rnglz  14219  rngrz  14220  ring0cl  14299  ringlz  14321  ringrz  14322  aprlring  14573  lmod0vcl  14626  lmodfopnelem1  14633  rmodislmodlem  14659  rmodislmod  14660  islss3  14688  psr0cl  14995  psr0lid  14996  mplsubgfilemm  15012