Theorem grpidcl 13834

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13812	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 13743	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13352   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   Grpcgrp 13805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808

This theorem is used by:  grpbn0  13835  grprcan  13842  grpid  13844  isgrpid2  13845  grprinv  13856  grpidinv  13864  grpinvid  13865  grpressid  13866  grpidrcan  13870  grpidlcan  13871  grpidssd  13881  grpinvval2  13888  grpsubid1  13890  dfgrp3m  13904  grpsubpropd2  13910  imasgrp  13914  mulgcl  13942  mulgz  13953  subg0  13983  subg0cl  13985  issubg2m  13992  issubg4m  13996  grpissubg  13997  subgintm  14001  0subg  14002  nmzsubg  14013  0nsg  14017  triv1nsgd  14021  eqgid  14029  eqg0el  14032  qusgrp  14035  qus0  14038  ghmid  14052  ghmrn  14060  ghmpreima  14069  f1ghm0to0  14075  kerf1ghm  14077  rng0cl  14242  rnglz  14244  rngrz  14245  ring0cl  14326  ringlz  14348  ringrz  14349  aprlring  14600  lmod0vcl  14654  lmodfopnelem1  14661  rmodislmodlem  14687  rmodislmod  14688  islss3  14716  ascl0  15027  psr0cl  15072  psr0lid  15073  mplsubgfilemm  15089