Theorem rng0cl 13575

Description: The zero element of a non-unital ring belongs to its base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng0cl	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rng0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 13570	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2		rng0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rng0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13231	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  Basecbs 12703  0_gc0g 12958  Grpcgrp 13202  Rngcrng 13564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-abl 13493  df-rng 13565

This theorem is referenced by:  rngrz  13578