Theorem rnggrp 13671

Description: A non-unital ring is a (additive) group. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rnggrp	|- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Proof of Theorem rnggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13668	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
2	1	ablgrpd 13597	1 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   Grpcgrp 13303  Rngcrng 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-abl 13594  df-rng 13666

This theorem is referenced by:  rngacl  13675  rng0cl  13676  rngrz  13679  rngmneg1  13680  rngmneg2  13681  rngm2neg  13682  rngsubdi  13684  rngsubdir  13685  subrngsubg  13937  rnglidlmcl  14213  2idlcpblrng  14256