Theorem rnggrp 13950

Description: A non-unital ring is a (additive) group. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rnggrp	|- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Proof of Theorem rnggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13947	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
2	1	ablgrpd 13876	1 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   Grpcgrp 13582  Rngcrng 13944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-abl 13873  df-rng 13945

This theorem is referenced by:  rngacl  13954  rng0cl  13955  rngrz  13958  rngmneg1  13959  rngmneg2  13960  rngm2neg  13961  rngsubdi  13963  rngsubdir  13964  subrngsubg  14217  rnglidlmcl  14493  2idlcpblrng  14536