Theorem rnggrp 13289

Description: A non-unital ring is a (additive) group. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rnggrp	|- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Proof of Theorem rnggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13286	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
2	1	ablgrpd 13226	1 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   Grpcgrp 12942  Rngcrng 13283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5898  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-abl 13223  df-rng 13284

This theorem is referenced by:  rngacl  13293  rng0cl  13294  rngrz  13297  rngmneg1  13298  rngmneg2  13299  rngm2neg  13300  rngsubdi  13302  rngsubdir  13303  subrngsubg  13548  rnglidlmcl  13793  2idlcpblrng  13835