Theorem rnggrp 13815

Description: A non-unital ring is a (additive) group. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rnggrp	|- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Proof of Theorem rnggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13812	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
2	1	ablgrpd 13741	1 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   Grpcgrp 13447  Rngcrng 13809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-abl 13738  df-rng 13810

This theorem is referenced by:  rngacl  13819  rng0cl  13820  rngrz  13823  rngmneg1  13824  rngmneg2  13825  rngm2neg  13826  rngsubdi  13828  rngsubdir  13829  subrngsubg  14081  rnglidlmcl  14357  2idlcpblrng  14400